Решение уравнений дискретных систем

Решения уравнений дискретных систем необходимы для исследования реакций этих систем на различные внешние воздействия при определённых начальных условиях.

Уравнения (15.14) или (15.28), (15.29), по сути дела, являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют вычислить последовательно (рекуррентно) значения как переменных состояния, так и выходной величины, соответствующие моментам времени kT. Рассмотрим эту возможность на численном примере.

Пример 15.6.Найти значения при дискретной системы, уравнения которой имеют вид

, . (15.35)

Вектор начальных условий , а входное воздействие является единичной ступенчатой функцией, т.е. .

Решение. Полагая в (15.35) k = 0, получим

, ,

так как . Аналогично при , поэтому

, .

Далее при , по-прежнему, а

, .

Наконец, y₃ = 0,46. Этот процесс можно продолжать сколь угодно долго, что позволяет найти значения x_k и y_k при любых целых k. ■

Если описанный в примере 15.6 процесс осуществить в символьной форме, то из (15.14) получим следующую последовательность:

, , ,

или

,

Обобщая эти выражения, получим следующие соотношения:

, (15.36)

(15.37)

Формулы (15.36) и (15.37) определяют значения выходного сигнала импульсной системы в дискретные моменты времени. Ординаты , естественно, не дают значений внутри периода квантования. Поэтому, если необходимо определить значения системы, приведенной на рис. 15.10, внутри периодов при можно использовать выражение

(15.38)

Здесь – матрица и векторы из уравнений (15.4), (15.5); .

Описанный рекуррентный метод может использоваться и для решения уравнений «вход-выход» дискретных систем.

Большим неудобством рассмотренного рекуррентного метода решения уравнений дискретных систем является то, что для получения любого, скажем, 10-го значения переменной y_k необходимо вычислить все девять предыдущих значений y₁ y₉ . Поэтому для определения реакций дискретных систем при больших значениях k целесообразнее использовать метод z-преобразования. При этом может использоваться любая из приведённых выше моделей дискретных систем. Наиболее удобным является уравнение «вход-выход», записанное с помощью передаточной функции

. (15.39)

Подставляя в это выражение z-изображение g(z) воздействия g_k и передаточную функцию W_yg(z), получим z-изображение дискретной функции y_k . Далее, как отмечалось выше, необходимо вынести z из числителя правой части (15.39), а оставшуюся дробь разложить на сумму простейших дробей. Затем с помощью таблиц z-изображений (см. приложение П.1) найти оригинал – y_k, значения которого равны значениям выходной переменной системы в моменты времени .

Пример 15.7.Найти реакцию системы (15.35) на линейное воздействие при

нулевых начальных условиях и T = 1.

Решение. Так как уравнения (15.35) записаны в канонической управляемой форме

(15.28), (15.29) при , то в соответствии с выражением (15.26) её уравнение «вход-выход» имеет вид

.

По таблице из приложенияП.1 находим, что z-изображение заданного входного воздействия при T = 1 определяется равенством

.

Следовательно, в рассматриваемом случае

. (15.40)

Так как корни полинома – комплексные, то дробь в квадратных скобках представим сначала в виде суммы:

. (15.41)

Для определения коэффициентов запишем систему

. (15.42)

Решение системы (15.42) позволяет с учетом (15.41) представить равенство (15.40) следующим образом:

. (15.43)

Имея в виду 3, 4, 8 и 9-ю строки таблицы из приложения П.1 при ; , , , приведём равенство (15.43) к виду

. (15.44)

Z-изображению (15.44), в соответствии с указанной выше таблицей, соответствует решётчатая функция

. (15.45)

Это равенство, очевидно, позволяет сразу найти реакцию системы (15.35) на воздействие g_k = 0,5k в любой момент времени t_k = kТ, кратный периоду квантования Т. ■

Отметим, что Z-преобразование может применяться и для решения уравнений дискретных систем в переменных состояния типа (15.14). В этом случае получаются аналитические выражения типа (15.45) как для переменных состояния, так и для выходных величин системы. Несомненно, в этом случае объём получаемой информации об исследуемой системе значительно выше, чем при решении уравнений «вход-выход».