Синтез решетчатого фильтра
Несмотря на близость РФ и АР фильтров, использование РФ требует введения новых понятий и соотношений, на основе которых выводится структура РФ. Прежде всего, необходимо остановиться на выводе рекуррентных соотношений, которые носят название алгоритма Левинсона-Дарбина. Алгоритм позволяет вычислять для р-го порядка коэффициенты АР и отражения РФ по найденным коэффициентам АР модели сигнала 1…р порядков.
По аналогии с фильтром прямого предсказания для сигнала, описываемого моделью АР р-го порядка, можно ввести фильтр обратного предсказания, описываемый выражением
, (26)
где - коэффициенты фильтра обратного предсказания, состоящего из р звеньев, - ошибка обратного предсказания на выходе р-го звена фильтра. Уравнение описывает регрессию значения случайного процесса на последующие . Значения коэффициентов фильтра обратного предсказания находятся с помощью системы уравнений, аналогичной системе уравнений Юла-Уокера. Объединяя уравнения (2.4а) и (2.4б), можно представить обобщенные уравнения Юла-Уокера в матричном виде
, (27)
где -квадрат СКО, равный дисперсии ошибки прямого предсказания, Rp - корреляционная матрица (p+1) –го порядка
. (28)
Чтобы не выходить за рамки общепринятых в теории решетчатых фильтров обозначений (например [4]), в дальнейшем изложении будет использоваться замена и .
Умножив левую и правую части уравнения на , и усреднив, легко получить уравнение Юла-Уокера для фильтра обратного предсказания, аналогичное (27)
, (29)
где - дисперсия ошибки обратного предсказания на выходе p-го звена фильтра обратного предсказания. Объединив матричные уравнения (27) и (29) можно записать общее уравнение
. (30)
Очевидно, что для (р+1)-звенного фильтра должно так же выполняться соотношение типа
. (31)
Но, как показано в [4], от матричного уравнения (30) можно перейти к матричному уравнению (31) лишь в том случае, если коэффициенты фильтров прямого и обратного предсказания p-го порядка связаны с коэффициентами фильтра (p+1)-го порядка следующим образом
, (32)
где - некоторые, так называемые, коэффициенты отражения. Умножив справа левую и правую части матричного уравнения (32), на корреляционную матрицу можно показать, что коэффициенты отражения удовлетворяют соотношениям
, (33а)
. (33б)
Величины, входящие в соотношения (33а) и (33б), описываемые выражениями
, (34а)
, (34б)
как будет показано ниже, интерпретируются как взаимная корреляция ошибок прямого и обратного предсказания при единичной задержке. Для скалярного случая справедливы равенства
. (35)
Используя соотношения (23а), (23б) и учитывая (23), алгоритм Левинсона-Дарбина, позволяющий вычислять коэффициенты АР по коэффициентам отражения, можно представить в виде
(36)
, (37)
, (38)
с инициацией
, . (39)
Найденный алгоритм Левинсона-Дарбина позволяет получить структуру РФ. Формулы (1) и (37) дают выражение
, (40)
которое с помощью (26) и учетом (35) для р-го звена приводится к виду
. (41)
Аналогично можно найти выражение для ошибки обратного предсказания в р звене
. (42)
Полученные выражения (41) и (42) дают возможность представить структуру РФ в виде, изображенном на рисунке 3.
Рисунок 3. Обеляющий РФ.
При поступлении сигнала на вход фильтра на выходе каждого звена фильтра появятся ошибки предсказания вперед и назад. Как видно из рисунка 3 ошибки предсказания вперед и назад связаны друг с другом соотношениями (41) и (42).
Можно показать, используя соотношение (42), что решение задачи минимизации дисперсии ошибки предсказания относительно коэффициента отражения Кp дает следующее выражение для коэффициента отражения
. (43)
К этому же соотношению можно придти путем несложных преобразований выражений (41) и (42). Таким образом, РФ, коэффициенты отражения которого определяются алгоритмом Левинсона-Дарбина, минимизирует дисперсию ошибки предсказания. Выражение (43) дает удобную оценку коэффициентов отражения РФ, позволяющее обновлять их при адаптации фильтра.
Из рисунка 3 видно, что текущий отсчет случайного процесса можно представить в виде
, , (44)
т.е. взвешенным суммированием ошибок обратного предсказания в предшествующий момент времени с коэффициентами веса, равными коэффициентам отражения. Случайная величина хt, представленная в виде (44), полностью определяется коэффициентами веса, роль которых играют коэффициенты отражения. Таким образом, коэффициенты отражения полностью характеризуют случайный процесс в рамках модели АР. Это свойство коэффициентов отражения РФ позволяет использовать их в качестве информативного признака при распознавании и спектральном оценивании.
Дата добавления: 2019-09-30; просмотров: 521;