Действие кратковременной нагрузки на систему с одной степенью свободы
Внезапно приложенная возмущающая сила постоянной величины. Если к упругой системе, находящейся в состоянии покоя, в момент времени t0 прикладывается возмущающая сила P(t) = Р, то уравнение динамического равновесия без учета затухания для t> t0 будет таким:
у" + w2у = Р/m. (20)
Полное решение этого уравнения, включающее свободные и вынужденные колебания системы при t0 = 0, имеет следующий вид
у = а sin (wt + 𝜑0) + [P/(mw2)] (1 — cos wt). (21)
Так как из формулы (13) w2 = , то Р/(mw2) = уСТ и динамический коэффициент силы Р при вынужденных колебаниях будет
μ = 1 — cos wt. (22)
Наибольшее значение этого коэффициента при wt= , З , ... достигает μmax = 2.
На рис. 6 показан график колебательного движения точки приложения силы Р.
Рис. 6
Внезапно приложенная и внезапно прекратившая свое действие сила постоянной величины. Принимается, что сила Р прикладывается внезапно в момент времени t0 и сохраняет постоянное значение в течение периода Тр.
Для периода t0 < t < t0 + Тр действительно предыдущее решение, а в период t>t0 + Тр, т. е. после прекращения действия силы Р, система будет совершать свободные колебания в соответствии с первым членом выражения (21). При этом начальные условия этого движения (при t =t0 + Тр), совпадающие с условиями движения в конце предыдущего периода, позволяют определить амплитуду колебаний и динамический коэффициент силы Р:
μ = ± 2 sin (wТр/2) = ± 2 sin ( Тр/Т). (23)
Величина этого коэффициента от соотношения между периодом Т действия нагрузки и периодом Т свободных колебаний системы. В табл. 1 приведены значения μ в зависимости от величины Тр/Т.
Таблица 1.
тр/т | 0,01 | 0,02 | 0,05 | 0,1 | 0,167 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 и более | |
μ | 0,52 | 0,126 | 0,313 | 0,618 | 1,00 | 1,175 | 1,617 | 1,902 | 2,0 |
Кратковременный импульс силы. Если импульс сосредоточенной силы P(t) имеет величину S и действует в течение малого промежутка времени (периода) Т°р, то среднее значение силы за этот период будет
P = S/T°p. (24)
Приняв вместо силы P(t) ее среднее значение Р, можно воспользоваться формулой (23) для динамического коэффициента. Обе части этого выражения умножим на Р и, кроме того, правую часть умножим и одновременно разделим на wТ0р. Тогда в левой части получим статическую силу, эквивалентную данному импульсу по своему действию.
Так как для любого угла отношение sin / < 1 и это отношение при стремлении к нулю стремится к единице, то наиболее опасным из всех ударных импульсов, имеющих заданную величину S, является мгновенный импульс, для которого:
Рэк = wS (25)
Ударная нагрузка. При ударе движущегося тела по упругой системе, например в случае свободного падения груза Q = mg на конец балки, происходит передача кинетической энергии движения груза балке, сопровождающаяся деформацией последней и возникновением равных между собой сил взаимодействия груза и балки. Каждая из этих сил называется силой удара. Сила удара имеет вполне определенную продолжительность, или период действия, Тр°, обычно измеряющийся сотыми или тысячными долями секунды, и в течение этого периода изменяется по
величине. Примерный график силы удара показан на рис. 7 (сплошная линия).
Сила удара характеризуется ее наибольшей величиной Р, периодом Т°р и импульсом, равным площади диаграммы удара:
S = . (26)
В то же время импульс силы удара равен количеству движения ударяющей массы m:
S = mv,
где v— скорость движущейся массы т.
Если сила в течение периода Тр остается постоянной и равной Р, то импульс такой силы будет выражаться простым произведением:
S = РТр. (27)
Сила удара, период ее действия и закон изменения во времени зависят не только от величины массы тела и скорости его движения, но также и от упругих свойств самого сооружения и его поверхности в месте удара. В настоящее время мы можем получить график силы удара только экспериментальным путем, например с помощью осциллографа. График силы удара можно приближенно заменить равновеликим прямоугольником, например, исходя из равенства наибольших ординат, как это показано на рис. 7 штриховой линией, или исходя из равенства периодов Тр = Т°р.
Не зная периода действия ударной нагрузки, будем считать ее импульс мгновенным. Тогда эквивалентная статическая сила выразится формулой (25).
Рис. 7
Эффект ударной нагрузки зависит не только от величины ее импульса, но также и от частоты собственных колебаний самой системы. Чем жестче сооружение, тем больше будет динамический коэффициент удара при одном и том же импульсе.
Дата добавления: 2016-11-29; просмотров: 2016;