Эквивалентность процентных ставок.

Если замена F-вида ставки на другую не изменяет финансовые отношения сторон, то такие ставки называются эквивалентными.

Формулу эквивалентных ставок во всех случаях получим из равенства, взятых попарно множителей наращения.

Эквивалент простых и сложных ставок наращения:

i_s – простая, i-сложная

i_s= ((1+i)ⁿ – 1) / n

i = (ⁿ корень из 1+n i_{s )} - 1

Эквивалент простых ставок наращения и учетной ставки:

1+n i_s = 1/ (1-nd_s)

i_s = d_s / (1-nd_s)

ЗАДАЧА 1:

До какой величины вырастит сумма долга в размере 250 000, взятого на 18 месяцев под 20 % годовых сложных с ежеквартальным начислением.

ДАНО: Р = 250 000, n – 1,5 года, i – 0,2, m – 4 НАЙТИ: S - ?

РЕШЕНИЕ:

S = P (1+i/m)^m*n

S = 335 024 руб.

ЗАДАЧА 2:

31 декабря 2002 года получили 30 000 руб. Какая сумма была положена на ваш счет, если счет был открыт за 1 год до этого, при объявленной ставке 15 % годовых сложных при помесячном начислении процентов.

ДАНО: S = 30 000, n – 1 год, i – 0,15, m – 12 НАЙТИ: Р - ?

РЕШЕНИЕ:
S = P (1+i/m)^m*n

P = 25 845 руб

ЗАДАЧА 3:

Какова эффективная ставка, если номинальная ставка 25% при помесячном начислении процентов.

ДАНО: j = 0,25 m = 12 НАЙТИ: i_эф = ?

РЕШЕНИЕ:

i_эф = (1+j/m)^m

i_эф = 28 %

ЗАДАЧА 4:

Какова эффективная ставка проведенной сделки в виде годовых простых процентов, если 1 апреля была конвертирована сумма 310 000 руб. в евро по курсу 31 рубль. Полученная сумма положена на трехмесячный депозит под 3 % годовых простых. 1 июля деньги не были получены по договору и произошла пролонгация до 1 октября. 1 октября была снята окончательная сумма и она была переведена в рубли по курсу 33 руб. 50 коп.

ДАНО: Р = 310 000 руб. n = ¼ i= 0,03 k1 = 31 k2 = 33,5 НАЙТИ: i_эф - ?

РЕШЕНИЕ:
S = P^,(1+in)( 1+in)

S = 310 000 / 31* (1+0,03*¼)(1+0,03*¼)*33,5 = 340 000 руб

S =P(1+in)

i= 19 %

Если i_эф > 0, то операция убыточная.

ЗАДАЧА 5:

Начальная сумма 10 000 000 руб. Начальный уровень силы роста 8 %. Ставка непрерывна и линейно изменяемая. Относительный годовой прирост 2 %. Найти соответствующий множитель наращения, при условии начисления процентов в течение 5 лет.

ДАНО: Р = 10 000 000 a= 0,08 n = 5 Q₀ = 0,08 НАЙТИ: S - ?

РЕШЕНИЕ:

Q = Q₀ + at

S = P*e^{интеграл от (Q0 + at)dt}

S = 19 150 000 руб

ЗАДАЧА 6:

Начальная сумма 200 000. Ставка непрерывно растет. Сила роста – 10 %. Проценты начисляются в течение 5 лет. Найти наращенную сумму.

ДАНО: Р = 200 000 Q = 0,1 n = 5 лет НАЙТИ: S - ?

РЕШЕНИЕ:

S = P*e^Q*n

S = 328 633, 53 руб

ЗАДАЧА 7:

2 года назад положили сумму на депозит в размере 10 000 руб. Определить наращенную сумму, с учетом пониженной покупательной способности, если уровень инфляции первые полгода – 5 %, вторые полгода – 4 %, третьи полгода – 1 %, четвертые полгода – 2 %. Ставка 12 % годовых сложных.

ДАНО: Р = 10 000 H1 = 0,05 H2 = 0,04 H3 = 0,01 H4 = 0,02 n = 2 i=0,12 НАЙТИ: C-?

РЕШЕНИЕ:

C = S/ⁿ I_p = Р(1+i)ⁿ / (h(с чертой)+1)ⁿ

С = (10 000 (1+ 0,12)²) / ((0,04 +1)^1/6(0,05 +1)^1/6(0,01 +1)^1/6(0,02 +1)^1/6) = 11 150 руб

ЗАДАЧА 8:

Поставщик оборудования получает на счет за редкую модель 20 000 000 руб. с задержкой в 3 месяца. Себестоимость данной модели 16 000 000 руб. Определить доходность в виде процентных ставок простой и сложной коммерческих операций, если уровень инфляции за 1 месяц – 1 %, 2 – 1%, 3 – 2 %.

ДАНО: n = 3 h1 = 0.01 h2 = 0.01 h3 = 0.02 P = 16 000 000 S = 20 000 000 НАЙТИ: i - ?

РЕШЕНИЕ:

J = (1+h1) (1+h2) (1+h3) = 1,04

С = S / J_p = 20 000 000 / 1.04 = 19232769.23

Простые:

i= (C – P) / P*n = 19232769.23 – 16 000 000 / 16 000 000*1/4 = 0.81 = 81 %

Сложные:

(1+i)ⁿ = C/P

i= – 1 = 1.08 = 108 %

ЗАДАЧА 9:

Вексель простой выдается на сумму 500 000 руб. с уплатой в конце года. Какую сумму получит владелец, если он учтет вексель за 5 мес до срока погашения по простой учетной ставке 12 % годовых.

ДАНО: d = 0,12 S = 500 000 n = 5/12 НАЙТИ: Р ?

РЕШЕНИЕ:
D = S*n*d

D = S – P

P = S – S*n*d

P = S (1 – n*d)

P = 475 000 руб