Излучательные и безызлучательные переходы.
Рассмотрим монохроматическую электромагнитную волну на частоте v, взаимодействующую с полупроводником. Если hυ>>EG, то эта волна будет поглощаться полупроводником. Ради простоты мы не будем вдаваться в квантовомеханический расчет процесса поглощения. В действительности результаты подобных расчетов редко используются на практике. Мы лишь отметим, что в случае прямого перехода должен сохраняться полный импульс:
, (4.3)
где Кс и Кυ— волновые векторы электрона соответственно в валентной зоне и зоне проводимости, а Копт — волновой вектор падающей электромагнитной волны. Однако в оптическом диапазоне Копт = 2π/λ ~ 105 см-1, в то время как Кс и Кυ имеют порядок 108 см-1. Поэтому можно принять приближение Копт = 0 и записать (4.3) в виде:
Кс = Кυ, (4.4)
так что переходы должны происходить между начальным и конечным состояниями с одним и тем же вектором К. Условие (4.4) называют условием сохранения импульса кристалла. Заметим, что у непрямозонного полупроводника минимум зоны проводимости имеет место при К, отличном от того, которое соответствует максимуму валентной зоны. В этом случае переход между указанными двумя состояниями может произойти, если в нем будет участвовать фонон решетки, чтобы скомпенсировать несохранение импульса кристалла. Однако непрямые переходы гораздо слабее, и это является основной причиной того, что лазерную генерацию никогда не удавалось наблюдать в непрямозонных полупроводниках, таких, как кремний.
Будучи заброшенным в зону проводимости, электрон релаксирует путем безызлучательных переходов (взаимодействуя с фононами решетки) на дно этой зоны. Не давно было показано, что этот внутризонный переход происходит в течение очень короткого времени(<100 фс). В то же время дырка, оставшаяся в валентной зоне, релаксирует за очень короткое время к верхушке валентной зоны. В этой точке электрон может рекомбинировать с дыркой либо излучательным, либо безызлучательным путем. Время жизни для межзонных переходов составляет около 1 нс, т.е. много больше времени жизни внутризонных переходов. Как известно, безызлучательные межзонные переходы происходят на глубоких ловушках, причем соответствующая энергия передается фонону решетки или свободным носителям. В полупроводниках, используемых в качестве активных сред лазеров, излучательная релаксация преобладает над безызлучательной, и квантовый выход люминесценции может достигать 80 % или даже больших значений.
1.1.3 Условие усиления электромагнитной волны
в полупроводнике
Рассмотрим неравновесное состояние полупроводника, когда из валентной зоны в зону проводимости переведено много электронов (например, за счет быстрого оптического воздействия). Поскольку внутризонные переходы имеют значительно большую скорость (t »10-11 ¸10-13 с), чем межзонные (t»10-8¸10-9с) внутри каждой зоны быстро устанавливается термодинамическое равновесие, хотя полупроводник как целое и не находится в термодинамическом равновесии (рис.4.1,б). Поэтому можно по отдельности говорить о вероятностях заполнения для валентной зоны fu и для зоны проводимости fc, которые даются выражениями, имеющими тот же вид, что и формула (4.2), а именно:
, (4.3.а)
. (4.3.б)
где и - энергии так называемых квазиуровней Ферми соответственно для валентной зоны и зоны проводимости.
В процессе перехода полупроводника из неравновесного состояния в равновесное происходит излучательная рекомбинация, т.е. переходы электронов из зоны проводимости в валентную зону сопровождаются выделением избыточной энергии в виде квантов света. Если за счет накачки создать инверсию населенностей на переходах излучательной рекомбинации, то возможно получение эффекта квантового усиления в полупроводнике.
Определим теперь условие создания инверсии в полупроводнике. Вследствие образования квантов света в процессе излучательной рекомбинации в полупроводнике, скорость заполнения фотонами частоты n некоторой моды объема V равна: V×dNn /dt = (A+BNn ), (4.4)
где Nn - число фотонов в моде. Первый член в правой части соответствует спонтанной излучательной рекомбинации, а второй – разности вынужденного испускания и поглощения квантов света. При температуре Т равновесное заполнение моды фотонами подчиняется статистике Бозе - Эйнштейна, т.е.: Nn = 2/[exp(hn/kT) –1]. (4.5)
Так как при равновесии dNn /dt = 0, то из выражения (4.4) находим:
А/В = - Nn (4.6)
Рассмотрим теперь переходы между уровнем с энергией Е2 в зоне проводимости и уровнем с энергией Е1 в валентной зоне полупроводника. Скорость излучательной рекомбинации на выбранном переходе пропорциональна произведению концентрации электронов на уровне Е2 и дырок на уровне Е1. Как известно, вероятность нахождения электрона в состоянии с энергией Е задается распределением Ферми - Дирака (4.2), а вероятность нахождения на уровне Е дырки равна вероятности того, что этот уровень не занят электроном, т.е. величине:
. (4.7)
Следовательно, вероятность спонтанной рекомбинации пропорциональна произведению вероятности нахождения электронов на уровне Е2 и вероятности нахождения дырки на уровне Е1, т.е.:
А = А0 f(Е2)[1 - f(Е1)], (4.8)
где А0 – коэффициент пропорциональности.
Таким же образом, вероятность вынужденного излучения будет пропорциональна произведению вероятности заполнения верхнего уровня и вероятности того, что нижний уровень будет свободным, в то время как вероятность поглощения будет пропорциональна вероятности заполнения нижнего уровня и вероятности того, что верхний уровень окажется свободным. Тогда величина В, определяющая в (4.4) разность скоростей вынужденного испускания и поглощения квантов света, составляет:
B = B2f(Е2) [1 - f(Е1)] - B1f(Е1) [1 - f(Е2)], (4.9)
где В1 и В2 - коэффициенты пропорциональности. Подставляя (4.8) и (4.9) в (4.6) и с учетом равновесных распределений (4.2) и (4.5) имеем:
exp (hn/kT) –1 = 2В2/А0{B1/B2exp[(E2-E1)/kT] –1}. (4.10)
Так как фотоны с энергией hn возникают при переходах между уровнями Е2 и Е1, то hn=(Е2 - Е1). Тогда уравнение (4.10) всегда верно, если В1 = В2 = А0/2 и выражение (4.9) примет вид:
B = А0/2 [f(Е2) - f(Е1)]. (4.11)
Разность скоростей вынужденного испускания и поглощения квантов света на переходе Е2→ Е1, как видно из выражения (4.11), будет положительна при выполнении условия: [f(Е2) - f(Е1)]>0. (4.12)
Выбранные нами уровни Е2 и Е1 находятся, соответственно, в зоне проводимости и валентной зоне, которые имеют отдельные квазиравновесные распределения (4.3). Следовательно, функции распределения f(Е2) и f(Е1) можно представить в виде:
f(Е2)=[1+exp(E2 – EFc )/kT]-1, f(Е1)=[1+exp(E1 – EFu )/kT]-1, (4.13)
Подставляя эти выражения в (4.12) получим:
(EFc -EFu )> (Е2 - Е1) = hn . (4.14)
Также заметим, что энергия излучаемого фотона должна, очевидно, быть больше ширины запрещенной зоны Еg , т. е. справедливо неравенство: Еg = (Еc - Еu )< hn<(EFc - EFu ). (4.15)
Отсюда окончательно получим, что разность скоростей вынужденного испускания и поглощения квантов света на переходе Е2→Е1 будет положительна при выполнении условия: (EFc - EFu )>Еg. (4.16)
Таким образом, инверсия между уровнями Е2 и Е1 достигается, если в результате воздействия на полупроводниковый образец излучения накачки квазиуровни Ферми окажутся внутри соответствующих разрешенных зон полупроводника.
Дата добавления: 2016-11-26; просмотров: 3320;