Понятие функции двух переменных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Функции одной независимой переменной не охватывают все существующие зависимости. Поэтому данное понятие обобщают и вводят понятие функции нескольких переменных.

Определение. Соответствие f, которое каждой набору n переменных сопоставляет одно и только одно действительное число , называется функцией нескольких переменных и записывается в виде .

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций двух переменных переносятся на случай большего числа переменных .

Понятие функции двух переменных

Пусть D – это множество упорядоченных пар чисел .

Опр. Соответствие f, которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно действительное число , называется функцией двух переменных и записывается в виде .

При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией).

Множество называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых в области определения, называется областью значений этой функции и обозначается E(f)или E.

Пример. Найти область определения функции .

Решение. Функция двух переменных имеет областью определения множество пар , таких, что . Записывают: . Геометрически область определения представляет некоторую часть плоскости Oxy, изображающую решение неравенства . Преобразовав неравенство, получим - это круг с центром в точке и радиусом R=2.

Графиком функции двух переменных является некоторая поверхность, представляющая собой множество всех точек пространства Oxyz с координатами называетсяаппликатой точки.

Пример 1. На рисунке 23 изображен график функции , представляющий собой полусферу с центром в точке и радиусом R=2.

2

x

y

z

O

2

2

Рисунок 1

Функцию двух переменных, как и функцию одной переменной, можно задать разными способами: аналитически, таблицей, графиком.

Построение графиков функций двух переменных во многих случаях представляет значительные трудности. Поэтому существует еще один способ изображения функции двух переменных, основанный на сечении поверхности плоскостями , где - любое число, т.е. плоскостями, параллельными плоскости .

Назовем линией уровня функции множество точек плоскости , в которых функция принимает одно и то же значение .

Пример 2. Найти линии уровня функции

Решение. Найдем линии уровня из условия Преобразуем данное равенство Полученное уравнение при условии задает на плоскости семейство концентрических окружностей с центром О(0; 0), радиусом

§2. Предел и непрерывность функций двух переменных

Опр.1. Множество всех точек, координаты и которых удовлетворяют неравенству , или, короче, , называется -окрестностью точки .

Опр.2. Число называется пределом функции в точке , если для такое, что для всех точек , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Используя определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функции одной переменной на функции двух переменных. Например, следующую теорему.

Теорема. Пусть функции и определены на одном и том же множестве и имеют в точке пределы и . Тогда функции , и имеют в точке пределы, равные соответственно , и