Частные производные высших порядков

Частные производные и называются частными производными первого порядка. Они тоже являются функциями двух переменных x и y. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка и определяются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные третьего и т.д. порядка. Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Например, .

При этом следует учитывать, что если производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. Так, например, . Поэтому на практике достаточно найти одну из таких производных.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Так как , то

, .

Замечание. Понятия частных производных и производных высших порядков обобщаются на функции трех и более переменных.

Литература:

1) Д. Письменный «Конспект лекций по высшей математике», глава 9, параграф 43, 4 п. 44.1, 44.2

2) Н.Ш. Кремер «Высшая математика для экономистов», глава 15 п. 15.1-15.3