Метод разложения решения в ряд Тейлора

Метод Эйлера

Пусть требуется решить уравнение вида для заданных начальных условий: численно методом конечных разностей.

Число точек дискретизации:

Задание функции:

Область определения функции:

Начальные условия:

Просмотр на экране дисплея численного значения функции в этой точке:

Дискрет по х: . Для выбранных параметров

Дискретное представление самой переменной:

Таким образом, для вычисления у(х) получим выражение

(2)

Приведем некоторые его значения:

Точное решение этого дифференциального уравнения:

Значение функции на правой границе: (рис. 1; возможна анимация графика по параметру n).

Рис. 1

Разностная схема (метод) не всегда работает. Если и то в силу (2) значения будут равны что не всегда так. Примером может служить процесс, описываемый уравнением или уравнением с заданными начальными условиями: . Независимо от значения q, — изменяемая во времени функция. Однако при q = 0 разностная схема дает другой результат: При картина получается достоверной.

Если не ввести обозначение константы, то возникнут трудности при записи функции :

Пусть переменные z и t принадлежат соответственно интервалам и . Запишем переменную t в дискретном виде (значение Т подобрано как полупериод):

Рис. 2

Введем обозначение

При этом (2) может быть записано в виде первых двух слагаемых ряда Тейлора:

В результате получаем ошибочное решение z_j, представляемое на графике прямой линией (рис. 2; возможна анимация графика).

В то же время при будем иметь:

Это решение также представлено на рис. 2 и является единственно правильным.

Задания. 1. Снять клип по параметру q1:

2. Привести другие примеры неадекватной работы метода Эйлера.

Метод Адамса

Решить уравнение вида для заданных начальных условий: , , численно методом конечных разностей.

Запишем формулу Адамса с четырьмя членами [2]:

Здесь

Формула Адамса дает возможность по определить Таким образом, зная мы можем определить и далее …

Рассмотрим на примере задачи, решенной выше, — см. подразд. 1.1 — моделирование алгоритма Адамса в системе MathCAD.

Дано:

Просмотр численного значения:

Вычисляем значение n-й производной: .
В системе Maple достаточно предыдущей символьной записи, а
в MathCAD каждую производную надо записывать отдельно.

Вторая производная:

Третья производная:

Запись последующих производных в MathCAD становится обременительной. В Maple эту процедуру символьного дифференцирования выполняет сама система, что позволяет записывать производные практически любого порядка и работать с ними.

Можно осуществить проверку правильности вычисления производных для выбранных значений функции в отдельных точках:

Вывод: вычисление в среде MathCAD выполнено правильно, в том числе и для других функций.

Введем обозначения:

Просмотр численных значений и проверка:

Проверка завершена успешно.

Используя разложение в ряд Тейлора в окрестности точки и беря его первые четыре члена, определим и как

Проверка численных значений:

Первые разности:

Вторые разности:

Проверка завершена успешно.

Далее все последующие значения х будем вычислять по формуле Адамса, имеющей вид

Результаты вычислений представим в виде вектора X и графически (рис. 3):

= (1 1.1103 1.2427 1.3995 1.5833 1.7969 2.0435 2.3266)

Рис. 3

Сравним численные результаты, полученные разными методами: метод Эйлера — метод Адамса — точное решение —

Значение в точке 0.4:

Относительная ошибка в процентах:

Значение в точке 0.6:

Относительная ошибка в процентах:

Метод разложения решения в ряд Тейлора

В основе метода, который также можно назватьметодом припасовывания, лежит представление решения рядом Тейлора. Решение должно быть гладким и иметь непрерывные производные до (n + 1)-го порядка включительно. Ряд Тейлора заменяется его первыми n + 1 членами разложения в окрестности точки t_k на каждом участке k. Конечные значения аргументов на этом участке становятся начальными на следующем участке k + 1 (подробнее см. [3]).

На примере рассмотренного ранее уравнения с начальными условиями: , покажем, как работает этот метод.

Дано:

Вычисляем:

Проверка:

Численные значения производных в заданных точках подтверждены. Проверка завершена успешно.

Представим алгоритм вычислений (некоторые параметры следует переопределить еще раз):

1.4. Сравнительный анализ численных результатов,
полученных разными методами

Имеются следующие результаты: метод припасовывания — метод Адамса — точное решение —

Необходимо переопределить имя компоненты вектора:

= (1 1.1103 1.2428 1.3998 1.5838 1.7968 2.0448 2.3284)

= (1 1.1103 1.2428 1.3997 1.5836 1.7974 2.0442)

k: = 4

Относительная ошибка в процентах:

Замечание.Недопустимо определение ! Формула в тексте далее идет как исполняемая формула! Переместите формулу выше и убедитесь в этом.

Таким образом, метод припасовывания дает более точный результат, чем все предыдущие.

Упражнение 1.1

Решить численно дифференциальное уравнение второго порядка методом припасовывания для заданных функций: Здесь функция не содержит производной что упрощает алгоритм решения.

Дано:

Если хотите сравнить полученное Вами решение с ответом, откройте в электронной версии методических указаний представленную ниже закрытую область.

Приступаем к решению, вычисляем. Третья производная:

Четвертая производная:

Зададим дискрет по x:

Алгоритм решения дифференциального уравнения:

Дискретные значения первой производной от полученного решения y (рис. 4, 5, возможна анимация графиков):

Рис. 4

Рис. 5

Упражнение 1.2

Решить численно дифференциальное уравнение второго порядка методом припасовывания, где

Это уравнение Бесселя (содержит Здесь р = const, y' = y1

Дано:

Первая и вторая производные заданы:

Третья производная:

Четвертая производная:

Зададим дискрет по x:

Если хотите сравнить полученное Вами решение с ответом, откройте в электронной версии методических указаний закрытую область.

Аналитическое выражение решения y(x) на участке припасовывания k, где можно записать в виде

(3)

В качестве проверки (3) вычислим (здесь невозможны обозначения y(z), yk(x)):

Учитывая, что можно (3) переписать ( ):

Результаты представим графически (рис. 6).

Рис. 6

Упражнение 1.3

Обобщить и записать в векторно-матричной форме алгоритм решения дифференциального уравнения второго порядка методом припасовывания на примере решения уравнения Бесселя.

Дано:

Введем обозначения:

Порядок дифференциального уравнения:

Старший порядок производной в разложении в ряд Тейлора:

Зададим дискрет по x:

Начальные условия будем записывать в матрицу: {Yj,k}

Матрица коэффициентов ряда Тейлора:

Третья производная:

Четвертая производная:

Если хотите сравнить полученное Вами решение с ответом, откройте в электронной версии методических указаний закрытую область.

Алгоритм:

Запись начальных условий в матрицу LL. Вычисление производных и их значений для заданных начальных условий с последующей их записью в матрицу LL коэффициентов ряда Тейлора.

Вычисление производных и их значений на всех участках припасовывания для вычисляемых начальных условий с последующей их записью в матрицу LL коэффициентов ряда Тейлора. Начальные условия следующего участка.

Ниже представлена матрица LL коэффициентов ряда Тейлора:

Аналитический вид решения исходного дифференциального уравнения записан ниже ( j — порядок производной; k — участок припасовывания; t — независимая переменная):

Фазовый портрет полученного решения представлен на рис. 7 (возможна анимация графика, 100 кадров).

Рис. 7

Анимация графика (рис. 8) показывает, что есть две устойчивые точки (два узла), которые практически не меняют своего положения при изменении параметра h. Это точки Х = 2 и Х = 4. Возможно, есть и другие точки.

Аналитическое выражение решения y(j, k, t) на участке припасовывания k, где можно записать в виде

Графики участка припасовывания и всего процесса можно сопоставить на одном рисунке (рис. 9).

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Другие возможности представления графиков решения исходного дифференциального уравнения иллюстрируют рис. 10 и 11.