Метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС)

Одним из наиболее простых по идее приближенных методов решения задач неустановившейся фильтрации является метод последовательной смены стационарных состояний (ПССС), развитый И.А. Чарным и широко применяемый в практических расчетах. Метод основан на предположении, что давление в пласте изменяется во времени значительно медленнее, чем по координатам. Поэтому в основном уравнении упругого режима фильтрации (7.10) производную по времени можно в первом приближении отбросить, в результате чего для давления получается уравнение Лапласа, описывающее стационарный процесс. В этом случае в каждый момент времени вся область движения жидкости, в действительности охватывающая весь пласт, условно разделяется на две области: возмущенную и невозмущенную. При этом предполагается, что в возмущенной области, начинающейся от стенки скважины, давление распространяется так, как будто бы движение жидкости в ней установившееся; внешняя граница этой области служит контуром питания.

В невозмущенной области пласта давление всюду постоянно и равно начальному статическому. Закон движения подвижной границы раздела возмущенной и невозмущенной областей определяется при помощи уравнения материального баланса и граничных условий.

Рассмотрим схематично применение метода ПССС для случаев плоскопараллельного и плоскорадиального потоков упругой жидкости.

Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток.

Рассмотрим полубесконечный горизонтальный пласт во всей области которого первоначально существовало постоянное давление Р_к. В начальный момент времени (t=0) в сечении Х=0 пласта толщиной h и шириной В давление внезапно снизилось и стало равным Р_г= const. К некоторому моменту времени t>0 после пуска галереи граница возмущенной области распространилась на длину . (Рис.51) .

Рис.51

Распределение давления в возмущенной зоне принимается установившимся

, (7.52)

т.е. эпюра давлений Р(x) представляет собой прямую линию, перемещающуюся вдоль пласта с угловой точкой x= . Заметим, что в точном решении этой задачи эпюра давлений угловой точки не имеет.

Рассматривая массу жидкости, отобранной за счет ее упругости из возмущенной области пласта , ее массовый расход, выраженный по закону Дарси, получаем дифференциальное уравнение для границы возмущенной зоны пласта, интегрирование которого дает закон движения этой границы:

. (7.53)

Тогда закон распределения давления в возмущенной зоне пласта (7.52) принимает вид

,

или

; (7.54)

где 0 < x £ 2 ;

а при x > , .

Нетрудно определить дебит галереи:

. (7.55)

Погрешность расчета дебита галереи по приближенной формуле (7.55) по сравнению с расчетами по точной формуле (7.24) не превосходит 11%.

Плоскорадиальный фильтрационный поток.

Рассмотрим плоскорадиальный приток упругой жидкости к скважине радиуса r_c из неограниченного горизонтального пласта постоянной толщины h (рис.52); скважина работает с постоянным дебитом Q; первоначально давление во всем пласте было одинаковым и равным Р_к.

Рис. 52

После пуска скважины в работу вокруг нее образуется воронка депрессии, которая теоретически охватывает весь пласт. Приближение в решении задачи заключается в том, что мы последовательно во времени фиксируем радиус воронки депрессии, т.е. в каждый момент времени радиус воронки R(t) принимается как конечная величина. При этом кривая распределения давления аппроксимируется логарифмической кривой, т.е.

. (7.56)

При этом дебит скважины будет описываться формулой, аналогичной формуле Дюпюи:

. (7.57)

Размер возмущенной области R(t) также находится из рассмотрения уравнения материального баланса для упругой жидкости, отобранной из этой области пласта. В итоге закон движения границы R(t) возмущенной зоны пласта имеет вид:

. (7.58)

Тогда из равенства (7.56) находится давление в любой точке пласта в любой момент времени t:

, (7.59)

где ,

а при

Депрессия на скважине (r = r_C) в момент t будет:

(7.60)

Сравнивая (7.60) с депрессией, определенной по точной формуле (7.39), убеждаемся, что относительная погрешность уменьшается с течением времени и составляет:

10,6 % , если ;

7,5 %, если ;

5,7 %, если .