Дифференциальные уравнения равновесия и движения среды при осесимметричных воздействиях

Рассмотрим элемент среды в цилиндрической системе координат (r,q, z), направив ось z вдоль оси симметрии. (Рис.8.1).

Рис.8.1. Элемент среды в цилиндрической системе координат

Объём элементарного элемента среды определяется выражением . Для осесимметричного поля деформаций справедливо предположение, что касательные напряжения, действующие на гранях элемента равны нулю, нормальные напряжения и не зависят от угловой координаты q. В таком случае можно записать единственное не тривиальное уравнение равновесия: (равенство нулю суммы проекций на ось r всех сил, действующих на элемент), которое после отбрасывания слагаемых высшего порядка малости и алгебраических преобразований можно представить в виде:

. (8.1)

Зависимость между напряжениями и деформациями определяется законом Гука. Для плоского деформированного состояния и закон Гука может быть представлен в форме:

, (8.2)

, (8.3)

где e – объёмная деформация

, (8.4)

и и характеристики упругой среды (параметры Лямэ).

Учитывая соотношения

, (8.5)

, (8.6)

представим уравнение равновесия (8.1) в перемещениях

. (8.7)

Следует отметить, что если граничные условия могут быть выражены в перемещениях, тогда решение не будет зависеть от упругих свойств материала, т.е. уравнение (8.7) можно записать в виде

. (8.8)

Добавляя в соответствие с принципом Даламбера в уравнение равновесия силы инерции элемента

, (8.9)

где плотность материала среды, получим

. (8.10)

Выражая напряжения через перемещения, получим уравнение движения

, (8.11)

где скорость распространения продольных волн.

Уравнения (8.8) и (8.11) позволяют определять напряжёно деформированное состояние цилиндрических объектов, находящихся в упругой среде, так и самой среды при статическом и динамическом нагружении. Решение многих задач можно получить аналитически в замкнутом виде, используя метод разделения переменных, преобразование Фурье и другие интегральные преобразования. Во многих случаях интересно сравнить реакцию сооружения и среды на динамическое воздействие с реакцией при статическом нагружении. Поэтому в следующих параграфах рассматривается ряд решений, представляющих практический интерес в статической и динамической постановке.