Схема против потока

Известна также как схема с разностями против потока, схема с разностями против течения, метод донорных ячеек и т. д.

Слабым звеном предыдущего анализа является предположение, что значение переносимой величины на грани контрольного объема Ф_е, определяется как среднее между Ф_Е и Ф_Р. Схема против потока предлагает лучшую аппроксимацию. Запись диффузионного члена остается прежней, а значение Ф на грани контрольного объема равно значению в соседней узловой точке с подветренной стороны грани. Таким образом

Ф_е = Ф_Р, если F_e > 0 и Ф_е = Ф_Е, если F_e < 0

Ф_w = Ф_W, если F_w > 0 и Ф_w = Ф_Р, если F_w < 0 (5.4)

Соотношения (5.4) можно записать более компактно, если ввести новый оператор [|A, B|] определяющую большею из величин A и В. Тогда для схемы против потока

и

Окончательно, дискретный аналог:

, (5.5)

где , ,

.

Примечание:

1. Из уравнения (5.5) видно, что отрицательные значения коэффициентов в этом случае не появляются. Таким образом, решения всегда будут физически реальными и критерий Скарбороу будет удовлетворяться.

2. Физический смысл схемы против потока: можно представить как серию отдельных баков с перемешивающейся внутри них жидкостью, которые соединяются с помощью трубок (рис. 5.2). Течение через трубки – конвекция, теплопроводность через стенки баков – диффузия. Т.к. жидкость перемешивается в баках, каждый бак имеет однородное температурное поле. Таким образом, жидкость ничего не должна знать о баке, к которому она течет, но должна нести полную информацию о баке, из которого она вытекает. Это является сутью схемы против потока.

Рис. 5.2 Модель «бак-труба» - аналог схемы против потока.

Точное решение

Уравнение сохранения можно решить точно, если положить Г равным постоянной величине и учитывая F = const (ru=const). Если рассматривается область 0≤x≤L с граничными условиями при x = 0 Ф = Ф₀ и при x = L Ф = Ф_L , то решение (5.1) можно представить в виде

или , (5.6)

где Р — сеточное число Пекле, определяемое следующим соотношением

.

Физический смысл Р – это отношение интенсивности конвекции к диффузии.

Смысл точного решения (5.6) будет более понятен, если рассмотреть рис. 5.3, на котором изображена зависимость Ф от x для различных чисел Пекле. В пределе при P=0 получаем задачу чистой диффузии (или теплопроводности), причем зависимость Ф от x является линейной. Когда поток направлен вдоль положительной оси x (т.е. для положительных значений Р), на значения Ф в рассматриваемой области, по-видимому, оказывает большее влияние ее значение вниз по потоку Ф₀. Для большого положительного значения Р значение Ф остается очень близким к значению Ф₀ вниз по потоку в большей части рассматриваемой области.

Рис. 5.3 Точное решение для совместной задачи конвекции и диффузии (одномерные задачи) при различных значениях числа P

Для отрицательных значений Р наблюдается обратная картина. Для больших отрицательных P значение Ф в большей части области практически равно Ф_L.

Для построения дискретного аналога рассмотрим рис. 5.3, обратив внимание на соответствующий профиль Ф от x между сеточными узлами.

1. Легко видеть, что предварительный анализ не дал результатов. Распределение Ф от x носит нелинейный характер, за исключением малых |P|.

2. Когда |P| велико, значение Ф при x=L/2 (грань контрольного объема) приблизительно равно значению Ф на границе вверх по потоку. Это и есть допущение, сделанное в схеме против потока, но здесь оно используется для всех значений |P|, а не только для больших.

3. Когда |P| принимает большие значения, производная dФ/dx при x=L/2 близка к нулю. Таким образом, диффузия практически отсутствует. В схеме с аппроксимацией против потока диффузионный член рассчитывается, исходя из линейного профиля Ф от x, т.е. предполагается несколько больший вклад диффузии при больших значениях |P|.

Если дискретный аналог получен непосредственно из точного решения, показанного на рис. 5.3, результирующая схема не должна иметь каких-либо дефектов.