Существующие схемы решения

Установившаяся одномерная конвекция и диффузия

Постановка задачи

Рассмотрим установившуюся одномерную задачу, в которой присутствуют только конвекция и диффузия. Дифференциальное уравнение сохранения имеет вид

, (5.1)

где u – скорость в направлении оси х. Для этого случая уравнение неразрывности записывается следующим образом

или .

Рис. 5.1 Типичный шаблон узловых точек для одномерной задачи (заштрихованная область - КО)

Для получения дискретного аналога используем 3-точечный шаблон, показанный на рис. 5.1. Хотя действительное расположение граней контрольного объема e и w не должно влиять на окончательную форму записи, предположим, что грань e расположена посередине между узловыми точками P и E, а грань w - посередине между W и P.

Интегрируя уравнения (5.1) по КО, показанному на рис. 5.1, получаем

. (5.2)

Дискретный аналог

Ранее был рассмотрен способ аппроксимации члена Г(дФ/дx) при использовании кусочно-линейного профиля Ф. Для конвективного члена сначала кажется естественным такой же выбор профиля. В результате получим

и

Множитель 1/2 является следствием предположения о расположении гранен контрольного объема посередине между узловыми точками; любые другие интерполяционные множители могут появиться при другом расположении граней контрольного объема. В этом случае уравнение (5.2) можно записать в следующем виде:

,

где Г_e и Г_w принимает разные значения μ, λ и т.д.

Для того чтобы записать уравнение более компактно, введем два новых символа

и .

Обе эти величины имеют одинаковую размерность

и .

F показывает интенсивность конвекции (или течения); D — диффузионная проводимость. Следует заметить, что F может быть больше или меньше нуля в зависимости от направления течения жидкости, D всегда положительна.

С учетом этих новых обозначений дискретный аналог примет вид

, (5.3)

где , ,

Примечание:

1. Поскольку из условия непрерывности F_e=F_w, то получим a_P=a_E+a_W, ru=const, (ru)_w- (ru)_e=0. Отметим, что дискретный аналог обладает этим свойством только в том случае, если поле скоростей удовлетворяет требованиям непрерывности.
2. Полученный дискретный аналог представляет собой следствие использования кусочно-линейного профиля Ф. Эта форма известна так же как центрально-разностная схема (разложение в ряды Тейлора).
3. Рассмотрим пример: D_e=D_w=1, F_e=F_w=4. Если заданы Ф_E и Ф_W, то из полученного нами дискретного аналога можно получить Ф_P. Рассмотрим два набора значений:
1. Ф_E = 200, Ф_W = 100 => Ф_P = 50
2. Ф_E = 100, Ф_W = 200 => Ф_P = 250.

Поскольку на самом деле Ф_P не может лежать вне области значений 100…200, определенных соседними точками, то эти результаты совершенно нереальны.

1. Когда |F|>2D, в зависимости от того F больше или меньше нуля, можно получить отрицательные a_W или a_E. Это приведет к нарушению одного из основных правил и возможности неправильного результата.
2. Отрицательные коэффициенты могут также означать, что нарушается выполнение критерия Скарбороу. Таким образом, поточечное решение дискретного аналога может расходиться. Поэтому решение задач конвекции с помощью центрально-разностной схемы ограничено малыми числами Рейнольдса (отношением F/D).
3. При нулевой диффузии (Г=0) (μ = 0) схема приводит к значению а_P = 0. В этом случае уравнение (5.3) невозможно решить с помощью поточечного метода и многих других итерационных методов/

Существующие схемы решения

Поскольку приведенный выше предварительный анализ привел в результате к неприемлемому виду дискретного аналога, то необходимо найти лучшие подходы. Существует еще несколько схем решения, в том числе:

· Схема против потока

· Экспоненциальная схема

· Комбинированная схема

· Схема со степенным законом