Растяжение и сжатие стержня

Сопротивление материалов. Основные понятия и определения

Сопротивление материалов (СМ) — раздел механики деформируемого тела, который рассматривает методы инженерных расчётов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Основные понятия и определения.Прочностью называется способность материала конструкции сопротивляться разрушению под действием внутренних напряжений, обусловленных воздействием внешних сил.

Жесткостью называется способность конструкции деформироваться при внешнем воздействии без существенного изменения геометрических размеров.

Устойчивостью называется способность конструкции сопротивляться усилиям, стремящимся вывести ее из состояния равновесия (например, изгибу при действии осевой нагрузки на стержень).

На практике встречаются конструкции сложной формы, которые могут быть представлены состоящими из простых элементов: брусьев, оболочек (пластин) и массивов. Материал тел при этом считается сплошным, однородным и изотропным, т.е. имеющим одинаковые свойства во всех точках по всем направлениям.

Брус, основной расчетный элемент в СМ, - тело, поперечные размеры которого (b x h) малы по сравнению с его длиной l.

Оболочка– тело, толщина которого значительно меньше его размеров в плане. Плоская оболочка называется пластина.

Массив – тело, у которого все его размеры имеют один порядок.

В настоящем учебном курсе рассматриваются только брусья.

Брусья бывают прямолинейными и криволинейными, постоянного и переменного сечения. Брус (горизонтальный или наклонный), работающий в основном на изгиб, называется балка. Брус, работающий в основном на растяжение-сжатие, называется стержень.

Геометрическое место точек, являющихся центрами тяжести поперечных сечений бруса называется его осью (осью балки, стержня).

Плоское сечение, перпендикулярное оси бруса называется поперечным сечением, а параллельное оси – продольным сечением.

При эксплуатации машин и сооружений их элементы подвергаются воздействию различных внешних нагрузок, которые классифицируются по следующим признакам:

Нагрузки активные и реактивные. Активные нагрузки являются первопричиной возникающий деформаций и они обычно известны. Реакции связей возникают в местах закрепления конструктивных элементов (т.е. на опорах) и они определяются из уравнений статического равновесия.

Нагрузки распределенные и сосредоточенные. Все поверхностные нагрузки являются распределенными по поверхности (размерность Н/м²), а в случае бруса – по его оси (размерность Н/м). Объемные нагрузки, такие как вес, считаются распределенными по поверхности, либо сосредоточенными в центре масс элемента. При малой площади распределения нагрузка считается сосредоточенной в точке приложения. Для бруса сосредоточенными считаются силы и моменты, их размерность соответственно Н и Нм.

Нагрузки статические и динамические. Статические нагрузки имеют постоянную величину и место приложения, динамические нагрузки характеризуются переменностью величины, направления или места приложения.

Под действием внешних нагрузок брус деформируется и возникающие при этом внутренние силы упругости уравновешивают внешние силы. Деформации могут быть упругими (линейными и нелинейными), когда после снятия внешней нагрузки тело полностью восстанавливает свои размеры и форму. Если после снятия нагрузки форма и размеры не восстанавливаются полностью, то возникающие деформации называются остаточными (пластическими).

В зависимости от характера и места приложения нагрузки брус деформируется по-разному. Для определения его напряженного состояния применяют метод сечений – брус рассекают плоскостью, перпендикулярной его оси на две части и рассматривают равновесие одной из них.

На рис.2.1 показан прямолинейный брус (стержень), нагруженный продольной силой F. Уравнение равновесия правой части бруса имеет вид:

SF = 0 или F – N = 0,

откуда найдем F = N.

Рис.2.1. Прямолинейный брус (а) и его отсеченная часть (б)

Тогда величина нормального напряжения s, характеризующего интенсивность внутренних сил упругости в точках поперечного сечения (при равномерном распределении сил упругости по сечению) составит

, (2.1)

где А – площадь поперечного сечения бруса.

Напряжением называется интенсивность внутренних сил в точках поперечного сечения. Напряжение измеряется в паскалях (1 Па = 1 Н/м²) или чаще в мегапаскалях (1 МПа = 1 Н/мм²).

В примере рис.2.1 внутренние силы направлены по нормали к плоскости поперечного сечения и поэтому называются нормальными напряжениями, обозначаемыми буквой s. Внутренние силы в плоскости сечения характеризуются касательными напряжениями, обозначаются буквой t.

В общем случае нагружения (рис.2.2) все внутренние силы деформированного бруса можно привести к главному вектору и главному моменту . Располагаем оси декартовых координат так, что начало координат лежит в центре тяжести сечения (на оси бруса), оси x и y - в плоскости сечения, ось z – перпендикулярно сечению.

		Рис.2.2. Силовые факторы в поперечном сечении бруса

Разлагаем силовые факторы и на 6 компонент: три силы N, Q_x, Q_y и три момента M_x, M_y и M_кр – они называются внутренними силовыми факторами или силовыми факторами в поперечном сечении.

Каждая из компонент имеет характерное название и соответствует определенной деформации с соответствующим видом напряжения (см. таблицу 2.1).

Таблица 2.1.

Внутренние силовые факторы и соответствующие напряжения

Растяжение и сжатие стержня

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформирования, когда все внешние нагрузки действуют вдоль оси стержня, а в поперечных сечениях возникают только продольные (нормальные) силы N.

Закон Гука

Исследования твердых тел показали, что в большинстве случаев деформации растяжения-сжатия в определенных пределах пропорциональны действующим силам. Этот закон пропорциональности напряжения и деформации установил современник Ньютона Роберт Гук и в настоящее время он записывается в виде

, (2.2)

где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга), определенный как отношение нормального напряжения к соответствующей относительной линейной деформации стержня; - относительная линейная деформация растяжения-сжатия при одноосном напряженном состоянии для образца первоначальной длиной l; Δl – удлинение (укорочение) стержня под действием приложенной силы.

Одновременно с продольной деформацией наблюдается и деформация бруса в направлениях, перпендикулярных его оси – поперечные деформации. Если обозначить через b характерный размер поперечного сечения, то поперечная деформация при растяжении определяется уравнением

.

Поперечные и продольные относительные деформации связаны между собой зависимостью

, (2.3)

где μ < 1 – коэффициент Пуассона.

В таблице 2.2 приведены значения модулей упругости и коэффициентов Пуассона для основных конструкционных материалов.

Таблица 2.2

Модули продольной упругости

В соответствии с уравнениями (2.1) и (2.2) абсолютная величина упругой деформации стержня постоянного сечения под действием осевой нагрузки F определяется зависимостью

, (2.3)

где А – площадь поперечного сечения стержня.

Построение эпюр

Диаграммы изменения нормальной силы, напряжений и перемещений стержня вдоль его оси называются эпюрами соответственно продольных (нормальных) сил, напряжений и перемещений.

Рассмотрим пример построения таких эпюр для стержня, изображенного нна рис.2.3. Начало координат О принято в неподвижном сечении (в заделке), а ось координат z совпадает с осью стержня и направлена вниз.

Рис.2.3. Стержень под действием осевых

нагрузок и эпюры продольных (нормальных)

сил и напряжений при площади поперечного

сечения стержня на участках А₁ = S, A_2,3 = 2S

Из уравнения равновесия стержня определяем силу R₀ реакции связи в заделке

SZ = 0: R₀ – 3F + F = 0, откуда найдем R₀ = 2F.

При построении эпюр используется метод сечений по участкам, различаемым по размерам поперечных сечений и внешним силовым факторам. В рассматриваемой задаче таких участков три (рис.2.3,а): 1 – от свободного конца стержня до перепада поперечного сечения на больший размер (на интервале расстояний 2l … 3l ); 2 – от первого участка до места приложения силы 3F (на интервале расстояний l … 2l от заделки); 3 - от заделки до места приложения силы 3F (на интервале 0 … l);

Для построения эпюры внутренних продольных сил N на первом участке запишем уравнение силового равновесия для любой отсеченной его части на расстоянии z₁ (рис.2.3,б):

SZ = 0: - N₁ + F = 0, откуда находим N₁ = F.

Аналогично найдем для второго участка N₂ = F и для третьего участка N₃ = 2F. По результатам этих расчетов построена эпюра продольных сил (рис.2.3,г).

С учетом эпюры продольной силы строится эпюра нормальных напряжений в поперечных сечениях на участках 1-3 (рис.2.3,д) в соответствии с уравнением , где А_i – площадь поперечного сечения стержня на i-м участке.