Позиционные и непозиционные системы счисления

Основные понятия

Информатика — наука, изучающая свойства информации, а также способы представления, накопления, обработки и передачи информации с помощью технических средств.

Теоретические основы информатики были заложены в середине ХХ века и сначала развивались как раздел прикладной математики, получивший название «Теоретическая кибернетика». В последующие десятилетия произошло бурное развитие компьютерной техники, которая стала использоваться практически во всех областях человеческой деятельности. Процесс тотальной информатизации требовал своего научного осмысления. Так, на стыке математики и электроники родилась новая наука «Информатика». У нее есть своя предметная область, так или иначе связанная с компьютерной техникой, сложилась своя методология, терминология и т.д.

Ключевым понятием данной науки является понятие «Информация». Некоторые ученые считают «Информацию» одним из главных ресурсов материального мира и ставят ее в один ряд с понятиями «Вещество» и «Энергия». Как другие фундаментальные понятия термин «Информация» до сих пор является дискуссионным и не имеет однозначного толкования. Мы не будем касаться философского осмысления вопроса, а будем трактовать понятие «Информация» исключительно в практической плоскости. Начнем с самого простого обиходного использования понятия.

Информация (обиходное) — сведения, сообщение о чем-либо.

Поскольку нас интересуют процессы передачи и обработки информации, то в рамках изучения информатики на данное понятие накладываются ограничения.

Информация (в информатике) — сведения, сообщение о чем-либо, выраженные на каком-либо языке и закрепленные на материальном носителе.

Язык понимается в широком смысле этого слова как система условных знаков, например, текст, цифры, графики, изображения, звуки, жесты и тому подобное. Материальный носитель может быть любым: бумага с напечатанным текстом, аудио или видеозапись, электронный носитель информации.

К сожалению, даже с этим уточнением информация не становится объективной субстанцией. Дело в том, что смысл полученных сведений зависит, в том числе, от получателя, от его знаний, навыков, состояния. Например, прочитав один и тот же текст на французском языке, человек, знающий французский и другой — не знающий данного языка, получат совершенно различную информацию.

Компьютер, в отличие от человека, разумом не обладает, осмысливать информацию не может. Поэтому для него любая информация в любой форме является лишь набором символов, условных знаков и не более того. Обработка и преобразование входящей информации, все сложные процессы, происходящие в компьютере, есть не что иное, как выполнение однозначных команд, предписанных жестким алгоритмом, заложенном при программировании. Для подчеркивания различия в восприятии информации компьютером и человеком вводится специальный термин.

Данные — набор символов на условном языке безотносительно их смыслового значения, предназначенных для хранения и обработки на компьютере.

С точки зрения компьютера данные не имеют смыслового содержания, с другой стороны содержащаяся в них информация может быть точно измерена, и ее количество выражено в специальных единицах измерения. Компьютер может обрабатывать данные только на электронных носителях и выраженные в цифровой форме, точнее — набором двоичных чисел.

Системы счисления

Позиционные и непозиционные системы счисления

Система счисления — совокупность алфавита, элементы которого называются цифрами, способов представления числа и алгоритмов выполнения арифметических операций.

Все системы счисления можно разделить на два класса:

§ непозиционные,

§ позиционные.

В непозиционных системах счисления вклад каждой цифры в число определяется только ее номиналом и не зависит от положения цифры в записи числа.

Как правило, для получения значения числа нужно сложить номиналы всех цифр в его записи. Наиболее известным примером непозиционной системы счисления является Римская система. В основе ее лежат следующий алфавит:

I — 1,

V— 5,

X — 10,

L — 50,

C — 100,

D —500,

M —1000.

Например, в римской записи число XXIII содержит две цифры номиналом 10 и три цифры номиналом 1, в итоге получается число 23. Если цифры в числе записаны в порядке убывания номиналов, то значения цифр нужно складывать. Если слева от цифры большего номинала записана меньшая цифра, то ее значение нужно вычесть из большей. Например, число IV — это 4, а VI — это 6, аналогично, IX — это 9, а XI — 11, аналогично XL — это 40, а LX — 60.

Римская система счисления была принята для нумерации глав в книгах, в настоящее время книги печатают на компьютерах, и римская нумерация стала неудобной, поэтому применяется редко. До сих пор Римская система счисления используется для нумерации веков и маркировки циферблатов стрелочных часов. Например, знаменитые часы на Спасской башне Кремля, по которым вся Россия встречает Новый год, размечены по Римской системе счисления.

В позиционных системах счисления вклад цифры в значение числа определяется не только ее номиналом, но и местом в записи числа, так называемым разрядом. Нумерация разрядов ведется справа налево — от младших к старшим.

Примером позиционной системы счисления является Индо-арабская система, созданная в Индии в V веке н.э. Алфавит ее составляют всем хорошо известные арабские цифры от 0 до 9. В первом разряде числа (крайнем правом) вклад цифры в число равен номиналу, во втором справа разряде цифру нужно умножить на 10, в третьем на 100, в четвертом на 1000 и так далее, а затем сложить.

Например, в индо-арабской записи число 239 состоит из 9 единиц, 3 десятков и 2 сотен, т.е. 239 = 9Ñ1 + 3Ñ10 + 2Ñ100.

Число цифр в алфавите индо-арабской системы счисления равно 10, стоимость (вес) каждой цифры — это степени числа 10: в первом разряде — это 10 в нулевой степени (т.е. 1), во втором — 10 в первой степени (т.е. 10), в третьем — 10 во второй степени (т.е. 100) и т.д. Естественно, такая система счисления получила название десятичной в честь ее основания — числа 10. Создана она была настолько удачно, что дошла до наших дней практически неизменной. Людям, пользующимся десятичной системой счисления с первого класса, она кажется вполне естественной и удобной.

Однако в основу компьютерной техники была положена другая позиционная система счисления — двоичная.

Запись числа в двоичной системе аналогична десятичной с той разницей, что основанием системы является число 2. В алфавите системы только две цифры: 0 и 1. Стоимость (вес) цифры в записи числа — это степени числа 2: в крайнем правом разряде это 2 в нулевой степени (т.е. 1), во втором — 2 в первой степени (т.е. 2), в третьем — 2 во второй степени (т.е. 4), и т.д.

Например, двоичное число 1011 означает сумму одной единицы, одной двойки, ноля четверок и одной восьмерки: 1011 = 1Ñ1 + 1Ñ2 + 0Ñ4 + 1Ñ8, что в десятичной записи равно числу 11. Если используются несколько систем счисления, то во избежание путаницы справа от числа пишут основание системы.

В рассмотренном примере можно записать 1011₂ = 11₁₀. Первые 8 чисел натурального ряда выглядят в двоичной и десятичной системе по-разному, начиная с 2:

0₂ = 0₁₀

1₂ = 1₁₀

10₂ = 2₁₀

11₂ = 3₁₀

100₂ = 4₁₀

101₂ = 5₁₀

110₂ = 6₁₀

111₂ = 7₁₀

2.2. Перевод из одной системы счисления в другую,
арифметические действия

Перевод из одной системы счисления в другую легко сделать с помощью таблицы, в верхней строке которой справа налево располагаются степени основания системы.

Например, переведем число 10100 из двоичной системы в десятичную:

В верхней строке справа налево запишем степени числа 2, а в нижней в соответствующих разрядах цифры двоичного числа. Затем нужно перемножить цифры числа на их вес и сложить, нули при этом можно пропускать.

10100₂ = 1Ñ4 + 1Ñ16 = 20₁₀

Обратный перевод из десятичной системы в двоичную также сделаем с помощью таблицы. Например, нам нужно перевести в двоичную систему число 138. Выберем среди весов разрядов в верхней строке максимальное значение, которое не превосходит заданного числа 138. Это число 128, поставим в этом разряде 1. 128 единиц мы уже пристроили, у нас осталось 138 – 128 = 10. Опять ищем среди разрядов максимальный вес, не превосходящий 10. Это число 8, поставим и в этом разряде 1. Отнимем от 10 число 8 и получим 2, поставим в разряд двоек 1. Мы разложили наше десятичное число в сумму 128 + 8 + 2. Остальные разряды, соответствующие 1, 4, 16, 32 и 64 заполним нулями.

Таким образом, десятичное число 138 — это двоичное число 10001010.

Арифметические действия во всех позиционных системах осуществляются аналогично десятичной, следует только помнить, что переход результата в высший разряд осуществляется при достижении или превышении основания системы, для двоичной — это число 2.

. .

+ 1011

11110

Первый разряд: 1 + 1 = 2, но в двоичной системе могут быть только 0 и 1, 2 — это единица в следующем разряде, таким образом, в первом разряде пишем 0 и запоминаем 1 для второго. Второй разряд: 1 +1 +1 = 3 (1 + 2), пишем 1 и запоминаем 1 для третьего разряда.

Умножение двоичных чисел производится аналогично десятичной системе, с той разницей, что при сложении переход в следующий разряд начинается с числа 2. С практической точки зрения операции сложения и, особенно, умножения в двоичной системе весьма громоздки. Поэтому можно рекомендовать для решения подобных примеров сначала переводить все числа в десятичную систему, затем осуществлять соответствующие действия, полученный результат переводить обратно в двоичную систему.

3. Единицы измерения информации,
оцифровка информации

Бит — минимально возможное количество информации. Это количество информации, необходимое для выбора одной из двух возможных альтернатив, например, между «да» и «нет» или между 0 и 1.

В основу компьютерной техники положена двоичная система счисления, она лучше всего отражает физическую природу происходящих в компьютере процессов, а именно электрических и электромагнитных явлений. Грубо говоря, если через данный участок какого-либо устройства проходит электрический ток, то он условно помечается двоичным числом 1, а если не проходит, то двоичным числом 0, на магнитных носителях 1 соответствует намагниченный участок, 0 — не намагниченный. Таким образом, небольшой участок, фрагмент устройства может находиться в одном из двух состояний и содержит в себе информацию в один бит. Из таких фрагментов состоят все носители информации в компьютере, как постоянные, так и временные, количество их может измеряться миллионами, миллиардами и более. Поскольку логическую основу компьютера составляет двоичная математика, то единицы измерения информации соотносятся между собой как степени числа 2.

1 килобит (Кбит, Kbit) = 1024 бита,

1 мегабит (Мбит, Mbit) = 1024 килобита

Производные от самой маленькой единицы информации бит используются для обозначения скорости передачи данных в компьютерных сетях, измерения качества оцифровки звука. Но емкости временных и постоянных носителей информации — оперативной памяти, жесткого диска, CD и DVD дисков, флеш-карт, размеры программ и данных исчисляют традиционно в других единицах — байтах.

1 байт = 8 бит,

1 килобайт = 1024 байт,

1 мегабайт = 1024 килобайта,

1 гигабайт = 1024 мегабайта,

1 терабайт = 1024 гигабайта.

Далее планируется использовать обозначения пета, экза, зета, йота.

Система единиц измерения информации построена на основе не самой маленькой единицы — бита, а на основе байта. Дело в том, что именно такое количество информации нужно, чтобы обозначить один символ обычной письменной речи (букву, цифру, знак препинания и пр.). Действительно, один бит дает две возможные комбинации, а 8 бит — 2 в восьмой степени, т.е. 256 возможных вариантов. Можно составить таблицу из 256 двоичных чисел и сопоставить им буквы латинского алфавита, буквы национального алфавита (в нашем случае русского), знаки препинания, цифры, знаки математических операций и некоторые другие символы. Такая таблица называется кодовой и на ее основе производится перевод понятного человеку текста во внутреннее машинное представление в виде набора двоичных цифр. Один байт информации однозначно определяет один символ из кодовой таблицы.

Достаточно долгое время для перевода с человеческого языка на машинный двоичный код использовалась именно такая таблица из 256 символов, называемая ASCII. Тогда же байт — блок из 8 битов стал основной единицей измерения информации.

В настоящее время в компьютерах используется кодовая таблица UNICODE в различных модификациях. В форме UTF-32 один знак определяется четырьмя байтами (32 бита) информации, в эту таблицу входят алфавиты всех языков мира, включая японский и китайский. В странах Европы обычно используют UNICODE UTF-16, один знак кодируется 2 байтами (16 бит). Для получения кода символа нужно выделить его и нажать клавиши <Alt> + <X> (Х – английская), вместо буквы в тексте появится код символа в виде десятичного числа.

Рассмотрим оцифровку изображений. Компьютер выводит на экран монитора прямоугольную таблицу цветных точек — пикселей, количество строк и столбцов в таблице определяется ресурсами монитора, видеокарты и настройками указанных устройств, выбранных пользователем. Таким образом, для формирования картинки нужно для каждой точки экрана с номером строки X и номером столбца Y задать цвет. Цвета в компьютере формируются на основе смешения трех основных цветов в различных пропорциях. Наиболее распространенная система основных цветов называется RGB (Red, Green, Blue), т.е. красный, зеленый, синий. Схема RGB часто используется в программах, т.к. соответствует физическому устройству большинства мониторов. Существует и альтернативная цветовая схема CMYK — циан (голубой), маджента (пурпурный), желтый и так называемый базовый цвет Key-color, т.е. черный. Схема CMYK соответствует физическому устройству многих струйных принтеров.

Современные устройства могут воспроизводить на экранах мониторов более 16 миллионов оттенков, для чего используется так называемая 24-битная кодировка цвета. Для задания оттенка цвета в одном пикселе экрана нужно 24 бита (3 байта) информации. Интенсивность каждого из трех основных цветов в данной точке задается числом от 0 до 255, для хранения этих трех чисел нужно три байта т.е. 24 бита информации.

Например,

Черный цвет — (0, 0, 0), в двоичном виде 24 нуля (00000000 00000000 00000000).

Белый цвет — (255, 255, 255), в двоичном виде 24 единицы (11111111 1111111 11111111).

Изображения занимают много места в памяти компьютера, поэтому применяются различные системы сжатия файлов, что соответствует различным графическим форматам, например, jpeg.

Оцифровка звуковой информации начинается с того, что непрерывное звучание музыки, голоса или иных сигналов дискретизируется, т.е. разбивается на небольшие фрагменты, на протяжении которых звук будет в дальнейшем считаться постоянным. Чем мельче разбиение, тем ближе оцифрованный звук будет к оригиналу. Для каждого звукового фрагмента сопоставляются числа, характеризующие высоту звука, громкость и тембр звучания. Если одновременно звучит несколько звуков различной высоты или тембра (несколько музыкальных инструментов, голосов и т.д.), то данному фрагменту сопоставляется таблица с числовыми данными на каждый звук.

Рассмотренная прямая оцифровка звука требует много места для хранения полученных файлов, поэтому к звуковым файлам применяются различные системы сжатия (специальная кодировка для компактного хранения), например, известная система МР3. Качество звучания файлов в формате МР3 зависит степени сжатия, эта характеристика называется битрейтом.

Битрейт — количество информации, затраченное на 1 секунду звучания.

Например, битрейт 256 Кбит/с дает приличное качество звучания, а 320 Кбит/с считается отличным.

Видеоизображение — это последовательность кадров, сопровождаемая звуком, каждый кадр цифруется как картинка, т.е. каждой точке экрана задается цвет. К изображению добавляется синхронизированное с ним оцифрованное звучание. Видео на компьютере требует больших информационных ресурсов. Поэтому для оцифровки видео применяются, как и для звука, различные системы сжатия, например, формат avi. Полуторачасовой фильм при приличном качестве занимает в оцифрованном виде 600 — 700 мегабайт.