Оценки параметров распределения.

Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины X по данным выборки. При этом считают, что генеральная совокупность бесконечна, чтобы переходить к пределу при , где n – объём выборки. Для оценки параметров распределения X из данных выборки составляют выражения, которые должны служить оценками неизвестных параметров. является оценкой генеральной средней , а – оценкой генеральной дисперсии .

Обозначим через оцениваемый параметр, через – оценку этого параметра ( составлена из ). Для того чтобы оценка давала хорошее приближение, она должна быть несмещённой и состоятельной.

Определение. Несмещённой называют оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , т.е. , в противном случае оценка называется смещённой.

Оценка – несмещённая оценка генеральной средней, т.к. .

Оценка – смешённая оценка генеральной дисперсии, т.к. .

Наряду с выборочной дисперсией рассматривают исправленную дисперсию , которая также является оценкой генеральной дисперсии.

.

Таким образом, оценка является несмещённой оценкой генеральной дисперсии.

Для получаем:

.

Таким образом,

. (11)

В качестве приближённого неизвестного параметра берут несмещённые оценки, для того чтобы не сделать систематические ошибки в сторону завышения или занижения.

Определение. Состоятельной называют такую оценку параметра , что для любого наперёд заданного числа вероятность при стремится к единице; то есть при достаточно больших n можно с вероятностью, близкой к единице, утверждать, что оценка отличается от оцениваемого параметра меньше, чем на .

Несмещённая оценка будет состоятельной, если её дисперсия стремится к нулю при : .

Несмещённые оценки и являются состоятельными. Оценки и на практике не различаются при .

Для оценки генерального среднего квадратического отклонения используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно корню квадратному из исправленной дисперсии:

. (12)

Через и S будем обозначать левые части формул (11) и (12), заменяя случайные величины их реализациями , а – выборочной средней .

Если – большие числа, то для облегчения вычислений используют формулу:

,

где C – ложный нуль.

Пример. С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов. Их вес (в граммах) записан в первой колонке таблицы. Найти и S.

Пусть C=250.

	-25 -30 -5 -39 -16 -20 -19
	-72

;

; .

Оценка генеральной средней веса плода равна 243 г со средней квадратической ошибкой 9 г. Оценка генерального среднего квадратического отклонения веса плода равна 28 г.