Генеральная и выборочная дисперсии.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят такую характеристику, как генеральная дисперсия.

Определение. Генеральной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней .

Если все значения признака генеральной совокупности объёма N различны, то

. (7)

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причём , то

. (8)

Пример. Генеральная совокупность задана таблицей распределения:

Найти генеральную дисперсию.

,

.

Определение. Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется .

Дисперсия признака X, рассматриваемого, как случайная величина, равна .

Тогда , .

Величина называется средней квадратической ошибкой.

Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака X от выборочной средней .

Если все значения признака выборки объёма n различны, то

. (9)

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причём , то

. (10)

Пример. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

Найти выборочную дисперсию.

;

.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется квадратный корень из выборочной дисперсии: .

Пример.

Будем считать значения признака различными.

Выборочную дисперсию, рассматриваемую как случайную величину, будем обозначать :

.

Теорема. Математическое ожидание выборочной дисперсии равно , т.е. .