Оценки параметров генеральной совокупности по её выборке.

Извлечение объекта из генеральной совокупности можно рассматривать как испытание, количественный признак X – как случайную величину. Опытные значения признака X можно рассматривать как значения разных случайных величин с тем же распределением, что и X. Тогда

.

Значения называются реализациями случайных величин .

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объёма N относительно количественного признака X.

Определение. Генеральной средней (или a) называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения признака генеральной совокупности объёма N различны, то

. (1)

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причём , то

. (2)

или

.

Пусть все значения различны. Так как каждый объект может быть извлечён с одной и той же вероятностью , то .

Таким образом,

. (3)

Формула (3) справедлива, если значения имеют соответственно частоты , а также в случае непрерывного распределения признака X.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X произведена выборка объёма n.

Определение. Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки объёма n различны, то

. (4)

Если же значения признака имеют соответственно частоты , причём , то

(5)

или

.

Пример. Выборочным путём были получены следующие данные о массе 20 морских свинок при рождении (в г): 30, 30, 25, 32, 30, 25, 33, 32, 29, 28, 27, 36, 31, 34, 30, 23, 28, 31, 36, 30. Найти выборочную среднюю .

По формуле (5):

.

Если – большие числа, то используют формулу:

. (6)

При этом константу C (так называемый ложный нуль) берут такой, чтобы значения были наибольшими и число C – целым.

Пример. Имеется выборка:

Пусть , тогда значения равны:

Получаем сумму , тогда , .

Всевозможные выборочные средние есть значения случайной величины:

,

которая называется выборочной средней случайной величиной.

.

Таким образом, математическое ожидание выборочной средней совпадает с генеральной средней: .

Дисперсия выборочной средней равна .