Матрицы, определители. Элементарные преобразования матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел . Обозначаются прописными буквами А, В, С, …..

Общий вид матрицы, содержащей m строк и n столбцов:

(1) А =

Внизу справа при необходимости подписываются размеры матрицы: m – количество строк, n – столбцов.

Числа , составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матричные элементы обычно обозначаются той же буквой (только строчной), что и сама матрица, а индексы показывают место элемента матрицы в матрице: первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых находится данный матричный элемент. Например, для матрицы

А = элементы , ….

Матрицы (так же как и числа) можно вычитать, складывать, перемножать. Поэтому среди матриц есть аналоги нуля и единицы. Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Она имеет следующий вид и обозначение:
О =

Если в матрице (1) поменять местами строчки и столбцы (т.е. первую строчку сделать первым столбцом, вторую строку – вторым столбцом и т.д.), то полученная матрица носит название транспонированной по отношению к исходной матрице и обозначается или :

А^’ =

Квадратная матрица – матрица, число строк и столбцов у которой совпадают. Общий вид квадратной матрицы:

(2) А =

Числа называются главной диагональю квадратной матрицы.

След матрицы - это сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы: Sp( A ) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_ii + ... + a_nn

Дана квадратная матрица A размерностью 3

А =

Решение:

Чтобы вычислить след исходной матрицы, нужно сложить элементы на главной диагонали:

Sp( A ) = 2 - 1 + 3 = 4

Ответ: След матрицы A равен 4

Единичной называется такая квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю:

(3) Е =

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .