Распределение Релея

Пусть для передачи информации система связи использует сигналы длительностью . При прохождении сигнала через многолучевой канал на вход приемной антенны будет поступать некоторое число переотраженных сигналов, сдвинутых во времени относительно друг друга вследствие воздействия различных задержек в канале связи.

Подобное явление называется интерсимвольной интерференцией.

Будем полагать, что временная дисперсия сигнала в канале много меньше длительности передаваемого сигнала так, чтобы можно было пренебречь явлением межсимвольной интерференции. Дополнительно определим используемый канал связи как частотно-неселективный.

Полученный сигнал представляет собой сумму гармонических сигналов со случайными амплитудами и фазами. Он также является гармоническим (сумма двух гармоник - это гармоника) и записывается в виде:

Данный результат является справедливым для любого узкополосного сигнала при введенных ранее ограничениях.

Или сделав замену:

Полученное выражение представляет собой разложение узкополосного сигнала на два ортогональных сигнала, которое носит название квадратурного разложения узкополосного сигнала .

При этом в совпадающие моменты времени, выражения и являются статистическими независимыми.

Двумерная плотность распределения вероятности этих величин может быть записана в виде:

Найдем статистические свойства амплитуды и фазы в некоторый фиксированный момент времени. Через квадратурные компоненты и это находится следующими соотношениями:

или

Учитывая это можно получить выражения для двумерной плотности распределения вероятности:

Для определения одномерной плотности распределения вероятности полученную двумерную плотность распределения необходимо проинтегрировать по всем возможным значениям фазы.

Полученное распределение амплитуды носит название распределение Релея. А канал связи называют релеевским.

В подобном канале связи сигнал испытывает замирания, так как его амплитуда может принимать достаточно малые значения. При этом релеевское значение амплитуды зависит только от одного параметра .

Релеевские замирания возникают при наличии в канале связи большого количества отраженных путей распространения и отсутствия прямого пути.

Большинство каналов, которые применяются в мобильной связи - релеевские.

Проведем интегрирование полученной двумерной плотности вероятности по всем возможным значениям амплитуды и найдем плотность вероятности

Из полученных выражений следует, что фаза сигнала распределена равномерно в интервале . Сопоставив их, можно прийти к выводу:

Следовательно, амплитуда и фаза нормального узкополосного процесса в совпадающие моменты времени являются независимыми случайными процессами.

Средняя мощность сигнала:

Дисперсия (рассеивание) амплитуды, величина, которая характеризует среднее отклонение:

Медианное значение амплитуды, некая граница, относительно которой более высокая и более низкая амплитуда появляются с вероятностью 50%:

Это распределение (Релея) работает исключительно в каналах связи, где отсутствует прямой сигнал