Расчет прочности по нормальным сечениям

Элементы прямоугольного сечения с одиночной арматурой. Расчет изгибаемых элементов по нормальным сечениям производится по стадии III напряженно-деформированного состояния. Для получения расчетных зависимостей проведем в балке (рис. 4.3, а) сечение, отбросим правую часть и заменим ее действие внутренними силами. Так как действительные законы распределения напряжений по сечению достаточно сложны, то принимают упрощающие предпосылки: 1) напряжения в бетоне в предельном состоянии принимают равными расчетному сопротивлению R_b; 2) действительная криволинейная эпюра напряжений в бетоне сжатой зоны заменяется прямоугольной; применение такой эпюры в качестве расчетной приводит к погрешностям, не превышающим 2...8%, но позволяет упростить расчетные зависимости; 3) усилиями, воспринимаемыми растянутым бетоном над устьем трещины, пренебрегают вследствие их малости.

Прочность сечения элемента будет обеспечена, если расчетный момент от внешней нагрузки не превысит расчетного момента внутренних усилий относительно центра тяжести сечения растянутой арматуры (рис. 4.3 б):

M ≤ N_b(h_o – x/2) = R_bbx (h_o – x/2) (4.1)

или относительно центра тяжести сжатой зоны бетона

M ≤ N_s(h_o – x/2) = σ_s A_s (h_o – x/2) (4.2)

где h_o – рабочая высота сечения, h_o = h – a; a - расстояние от растянутой грани сечения до центра тяжести арматуры: в плитах а = 1,5...2 см, в балках (при расположении арматуры в один ряд) а = 3...4 см; х — высота сжатой зоны бетона, определяемая из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на продольную ось элемента (рис. 4.3,б):

Рис. 4.3. К расчету сечений с одиночной (а, б, в, г) и двойной (д) арматурой;

к определению граничной высоты сжатой зоны (в)

Входящие в формулы (4.2), (4.3) напряжения в растянутой арматуре σ_s определяются характером разрушения, зависят от содержания арматуры в сечении, высоты сжатой зоны и т. п. и находятся по эмпирической формуле

где ω — параметр, характеризующий условную высоту прямоугольной эпюры сжатой зоны бетона, при которой фактическая нейтральная ось проходит через центр тяжести растянутой арматуры (рис. 4.3, г), ω = 0,85—0,008 R_b; ξ = x/h_o — относительная высота сжатой зоны; σ_sc,u — предельные напряжения в арматуре сжатой зоны, принимаемые при γ_b2 ≥ 1 — 400 МПа, при γ_b2 ≥ 1 — 500 МПа; σ_sp — предварительное напряжение в арматуре с учетом всех потерь и γ_sp < l.

Разрушение сечения (см. § 2.2) может произойти либо вследствие достижения в растянутой арматуре предела текучести (физического или условного) σ_s = R_s и последующего разрушения бетона сжатой зоны (случай 1), либо вследствие разрушения бетона сжатой зоны при напряжениях в арматуре, меньших предела текучести σ_s < R_s (случай 2). Поэтому прежде всего необходимо установить условия, которые позволили бы расчетным путем определить, по какому случаю будет работать сече­ние. Для установления этих условий рассмотрим рис. 4.3, в, на котором изображены деформации бетона ε_b, соответствующие достижению деформаций текучести арматуры ε_sy = R_s/E_s, а также высота сжатой зоны х при различном содержании арматуры в сечении. Из рисунка видно, что при небольшой A_s x невелик, деформации арматуры достигают текучести ранее, чем деформации бетона при сжатии достигают своих предельных значений ε_bcu, т. е. имеет место случай 1. С увеличением содержания арматуры растут высота и деформации бетона сжатой зоны. При определенном x=x_R деформации бетона станут равными предельным значениям ε_bcu и разрушение бетона наступит одновременно с текучестью арматуры.

Очевидно, это состояние и будет границей между случаями 1 и 2. При больших A_s и x>x_R разрушение произойдет по сжатому бетону (случай 2). В расчетной практике для установления границы используют не х, а относительную высоту сжатой зоны ξ=х/h₀, которая характеризует основные параметры конструкции (классы бетона, арматуры, площадь сечения арматуры, бетона) и особенности напряженно-деформированного состояния. Значению x_R соответствует граничное значение относительной высоты сжатой зоны, определяемое по формуле (4.5), полученной на основе формулы (4.4):

где σ_sR — напряжение в арматуре: для арматуры классов A-I, А-II, A-III, Bp-I σ_sR=R_s; для предварительно напряженной арматуры классов A-IV и выше σ_sR=R_s+400-σ_sp-Δσ_sp, здесь Δσ_sp — коэффициент, зависящий от класса арматуры и способа натяжения [1].

Таким образом, при ξ≤ξ_R расчет элементов следует производить по случаю 1, при ξ>ξ_R — по случаю 2.

● Случай 1 (ξ≤ξ_R). С учетом вышеизложенного формулы (4.1)...(4.3) примут такой вид:

Из формулы (4.8) высота сжатой зоны

Относительная высота сжатой зоны

где μ=A_s/(bh₀)—коэффициент армирования. В расчетной практике часто используют также понятие «процент армирования» μ% = μ100%.

Пользуясь полученными формулами, можно решать задачи расчета сечений. Для упрощения практических расчетов формулы преобразуют, вводя параметры α_m и ζ. Подставив в формулу (4.6) x = ξh₀, получим

Откуда

Аналогично, преобразуя уравнение (4.7), будем иметь

Откуда

Полученные формулы справедливы при

Величины ξ, α_m и ζ взаимно связаны друг с другом. Зная одну из них или задаваясь одной из них, можно с помощью табл. 4.1 найти любую другую.

Одинаковую несущую способность можно обеспечить при различных размерах сечения и соответственно разных процентах армирования. Так, с увеличением высоты сечения можно уменьшить количество арматуры и наоборот. При проектировании следует исходить из наиболее экономичных решений, для которых стоимость конструкций будет наименьшей. Исследования показывают, что экономичные решения будут получены при ξ=0,25...0,4 для балок и ξ = 0,1...0,2 для плит. Максимальное значение коэффициента армирования, при котором сечение будет работать по случаю 1, получим, подставляя граничное значение высоты сжатой зоны ξ_R в формулу (4.10), откуда μ_max = ξ_RR_b/R_s.

Для железобетонных изгибаемых элементов из бетона классов В12,5...В30, армированных сталями классов А-II, А-III, Вр-I, μ_max=1,3...3,2 %.

Нормы ограничивают и минимальный процент армирования, назначаемый из условия равнопрочности армированного и неармированного сечений. Для изгибаемых элементов μ_min=0,05 %. Если процент армирования элемента ниже указанного минимума, то расчет следует производить без учета арматуры, т. е. как неармированного бетонного элемента.

В последнем случае прочность элемента из тяжелого бетона рассчитывается по формуле

Таблица 4.1.

Значения коэффициентов ξ, ζ, и α_m для расчетов

изгибаемости элементов прямоугольного сечении

где W_pl — упругопластический момент сопротивления бетонного сечения; для элементов прямоугольного профиля W_pl = bh²/3,5[l].

При расчете сечений встречаются со следующими основными задачами: определение площади растянутой арматуры A_s; подбор размеров поперечного сечения элемента b и h и арматуры A_s; проверка несущей способности сечения. При проверке несущей способности определяют х из (4.9) и подставляют его значение в (4.6) или (4.7). При расчете A_s из (4.11) находят α_m, затем по табл. 4.1 определяют ξ и по (4.14) вычисляют A_s. Блок-схемы решения указанных задач приведены в приложениях.

● Случай 2 (ξ>ξ_R). При расчете используют условия (4.1)...(4.3). Расчет элементов из бетона классов В30 и ниже с ненапрягаемой арматурой классов A-I, A-II, А-III при x>ξ_Rh₀ допускается производить по формулам случая 1, подставляя в них x= ξ_Rh₀. В этом случае момент, воспринимаемый прямоугольным сечением с одиночной арматурой, будет

Элементы с избыточным содержанием арматуры — «переармированные» (ξ>ξ_R) — экономически невыгодны, так как прочностные свойства арматуры используются не полностью и это приводит к перерасходу стали. Поэтому изгибаемые элементы следует проектировать так, чтобы соблюдалось условие x ≤ ξ_Rh₀.

■ Элементы прямоугольного сечения с двойной арматурой. Сечениями с двойной арматурой называют такие, в которых кроме растянутой арматуры ставится по расчету сжатая. Необходимость в сжатой арматуре возникает, когда сечение с одиночной арматурой не может воспринять расчетный момент от внешней нагрузки вследствие недостаточной прочности бетона сжатой зоны (разрушение по случаю 2). Чтобы сжатая зона в таких конструкциях восприняла все сжимающие усилия, ее необходимо усилить арматурой. Сечения с двойной арматурой неэкономичны по расходу стали, так как увеличивается расход продольной арматуры и требуется постановка поперечных стержней (с шагом не более 15d в вязаных каркасах и 20d — в сварных), обеспечивающих закрепление сжатых рабочих продольных стержней от выпучивания. Поэтому сжатую арматуру ставят по расчету только в особых случаях: при ограниченных размерах поперечного сечения элемента; невозможности повышения класса бетона; при действии изгибающих моментов двух знаков или других специальных требованиях.

Формулы для расчета нормальных сечений элементов с двойной арматурой получены из тех же условий, что и для элементов с одиночной. В соответствии с расчетной схемой (рис. 4.3, д) условие прочности изгибаемого элемента в предельном состоянии имеет вид

а уравнение проекций всех сил на горизонтальную ось

где М_b — момент, воспринимаемый сжатой зоной бетона и соответствующей частью растянутой арматуры; M'_s — момент, воспринимаемый сжатой арматурой A'_s и соответствующей частью растянутой.

При расчете сечений элементов с двойной арматурой могут встретиться два типа задач: 1) сжатая арматура необходима для усиления сжатой зоны бетона (если увеличение размеров сечения нежелательно) и 2) сжатая арматура предусмотрена по конструктивным соображениям или при условии действия изгибающих моментов двух знаков. При решении задач первого типа в двух исходных уравнениях (4.18) и (4.19) оказывается три неизвестных х, A_s, A′_s. Вследствие этого принимается дополнительное условие, которое отвечает экономическим требованиям.

Исследования показывают, что сечение будет наиболее экономичным, когда на бетон передается максимально возможное сжимающее усилие. Это будет иметь место при ξ = ξ_R. В этом случае сжатая арматура воспримет момент M'_s=R_scA'_s(h₀—a') = M—α_RR_bbh , откуда A'_s = (М—α_RR_bbh )/[R_sc(h₀-а')]. Площадь растянутой арматуры A_s получают из условия (4.19), принимая х = x_R = ξ_Rh₀: A_s=R_scA'_s/R_s+R_bξ_Rbh₀/R_s.

Блок-схемы решения указанных задач приведены в приложениях.

Проверка несущей способности осуществляется по условию (4.18), при этом х находится из формулы (4.19).

Формулами (4.18)...(4.19) можно пользоваться при х≥1,1а'. В противном случае сжатая арматура окажется вблизи нейтральной оси и напряжения в ней будут ниже R_sc.

■ Элементы таврового профиля. В первый период применения железобетона перекрытия сооружений выполнялись в виде сплошных плит. Однако такие конструкции нерациональны, поскольку сжатая зона составляет ¹/₁₀…¹/₅ их высоты, а растянутая зона сечения бетона в расчете прочности не учитывается и служит для размещения арматуры (рис. 4.4, а). Если часть бетона из растянутой зоны удалить, оставив его только вблизи арматурных стержней, сведенных в группы, то получится ребристая плита (рис. 4.4, б). Несущая способность плиты при этом не изменится, а расход бетона и вес конструкции значительно уменьшатся. Такие элементы, называемые тавровыми, широко применяются в виде отдельных балок, настилов, в составе монолитных ребристых перекрытий и т. п.

Рис. 4.4. К расчету тавровых сечений

Опыты показывают, что полка (рис. 4.4, в) вовлекается в совместную работу с ребром сдвигающими усилиями, и на участках, удаленных от ребра, напряжения будут меньше. Это учитывается условным уменьшением вводимой в расчет ширины свесов. Например, для отдельных балок таврового сечения с консольными свесами вводимая в расчет ширина полки должна составлять [1]:

При расчете балок таврового сечения различают два случая: сжатая зона бетона находится в пределах полки (рис. 4.4, г) или ниже полки (рис. 4.4, д).

●Случай 1 (x>h'_f) обычно встречается в сечениях с развитой полкой, когда внешний расчетный момент меньше внутреннего момента, воспринимаемого сжатой полкой сечения относительно центра тяжести арматуры:

Тавровые сечения этого типа рассчитывают как прямоугольные с размерами b′_f и h, поскольку площадь растянутого бетона не влияет на несущую способность. Для расчета используют формулы (4.6)...(4.9), полученные ранее для прямоугольного сечения с одиночной арматурой, в которых b заменяют на b'_f. При относительно тонкой полке (h'_f ≤ 0,2h) можно принять x=h'_f и для определения площади арматуры пользоваться приближенной формулой

Коэффициент армирования для сечений, рассчитываемых по 1-му случаю, принимают μ=A_s/(bh₀).

●Случай 2 (x>h'_f) имеет место, если внешний расчетный момент будет больше внутреннего момента, воспринимаемого только сжатой полкой. Тавровые сечения этого типа встречаются при расчете балочных конструкций с малой шириной свесов полки.

Для получения расчетных зависимостей изгибающий момент, воспринимаемый сечением (рис. 4.4, д), разделяют на два заменяющих момента: М_fl (рис. 4.4, е), воспринимаемый свесами полок и соответствующей арматурой A_s,fl, и момент М_rib (рис. 4.4, ж), воспринимаемый сжатым бетоном ребра и соответствующей ему арматурой A_s,rib: M=M_fl+M_rib. Тогда из рис. 4.4, е

Определив М_fl по формуле (4.21), из формулы (4.22)

При известных М и М_fl площадь сечения арматуры подбирают как для обычного прямоугольного сечения шириной b на действие момента M_rib=M—M_fl: определяют α_m=M_rib/(R_bbh ), затем по табл. 4.1 находят соответствующее значение ζ, тогда

Общая площадь продольной рабочей арматуры в тавровом сечении

Блок-схема расчета таврового сечения приведена в приложениях.

●Элементы, прямоугольного сечения, армированные напрягаемой и ненапрягаемой арматурой (смешанное армирование). Расчет прочности производят по III стадии напряженно-деформированного состояния, случаю 1 (ξ≤ξ_R). Предполагают, что напрягаемая арматура принята из высокопрочной стали, а ненапрягаемая — из мягких арматурных сталей с физическим пределом текучести. Рассматривая усилия, действующие в сечении (рис. 4.5, а), получают условие прочности. Для этого составляют уравнение моментов всех сил относительно центра тяжести растянутой арматуры

Положение нейтральной оси определяют из уравнения Σy=0:

Предполагают, что напряжения в бетоне и ненапрягаемой арматуре в предельном состоянии достигают расчетных значений R_b, R_s и R_sc. Напряжения в растянутой напрягаемой арматуре, не имеющей физического предела текучести, определяют произведением γ_s6R_s, где γ_s6 — коэффициент условий работы

здесь η — коэффициент, принимаемый равным для арматуры классов A-IV—1,2, A-V, B-II, К-7—1,15, A-VI—1,10.

Необходимость введения коэффициента γ_s6 обусловлена тем, что при достижении в арматуре напряжений σ_0,2 (если ξ≤ξ_R) бетон сжатой зоны, как показывают опыты, не разрушается. При увеличении внешней нагрузки до значения, при котором разрушается бетон, удлинения растянутой арматуры возрастают, что приводит к росту в ней напряжений. Это явление не наблюдается в элементах, армированных сталями, имеющими физический предел текучести. Повышение напряжений зависит от характера диаграммы растяжения стали и величины ξ. С уменьшением ξ деформации растянутой арматуры к моменту разрушения сжатой зоны увеличиваются, напряжения в арматуре, не имеющей площадки текучести, повышаются.

Если в качестве ненапрягаемой арматуры A_s используют высокопрочную сталь, то в предельном состоянии напряжения в ней могут достичь расчетного сопротивления или быть ниже его значения в зависимости от величин ξ, σ_sp и соотношения классов напрягаемой и ненапрягаемой арматуры. Как показывают исследования, напряжения в ненапрягаемой арматуре, принятой одного класса с напрягаемой, достигают значения R_s при ξ≤0,5ξ_R и относительно невысокой степени предварительного напряжения арматуры A_sp.

Напряжения в арматуре A'_sp

Формула выражает тот факт, что до приложения внешней нагрузки в арматуре A'_sp действует растягивающее предварительное напряжение σ'_sp (c учетом потерь и коэффициента точности натяжения γ_sp>l). Внешняя нагрузка вызывает сжимающие напряжения, предельные значения которых при коэффициенте условий работы бетона γ_b2≥1 составляют 400 МПа, а при γ_b2<1 — 500 МПа. Если γ_spσ′_sp<400 (или 500), арматура A′_sp будет сжата (σ′_sc>0), при γ_spσ′_sp>400 (или 500) предварительное напряжение не будет погашено (σ′_sp <0) и арматура останется растянутой, действуя на сечение как внешняя обжимающая сила.

●Элементы с несущей (жесткой) арматурой. Изгибаемые элементы с несущей арматурой применяют в монолитных сооружениях. В этом случае можно исключить устройство лесов, а опалубку подвешивать непосредственно к арматуре. Во время возведения сооружения несущая арматура работает как металлическая конструкция на нагрузки от массы опалубки, бетона и т. п. После приобретения бетоном необходимой прочности конструкции с несущей арматурой работают как железобетонные и воспринимают эксплуатационные нагрузки. Сечение несущей арматуры, по экономическим соображениям, принимают наименьшим возможным из расчета на монтажные нагрузки. При расчете на эксплуатационные нагрузки в железобетонном сечении при необходимости может быть добавлена продольная гибкая рабочая арматура.

Рис. 4.5. Схема усилий в сечении элемента с обычной и напрягаемой арматурой при расчете прочности (а); к расчету прочности изгибаемых элементов с жесткой арматурой (б, в)

Опыты показали, что жесткая арматура работает совместно с бетоном вплоть до разрушения. При этом прочность бетона и арматуры используется полностью. Принципы расчета прочности изгибаемых элементов с жесткой арматурой не отличаются от расчета обычных железобетонных элементов. В практике проектирования встречаются два случая.

●Случай 1 — нейтральная ось расположена выше жесткой арматуры (рис. 4.5, б). Эпюры напряжений в сжатом бетоне и растянутой арматуре прямоугольные. Условия прочности получают, составив уравнение моментов всех сил, действующих в сечении, относительно нейтральной оси

Положение нейтральной оси определяют из условия равновесия

где R_sa — расчетное сопротивление жесткой арматуры; A_sa — площадь поперечного сечения жесткой арматуры.

●Случай 2 — нейтральная ось пересекает стенку профиля жесткой арматуры (рис. 4.5, в). Условия прочности и уравнение для определения положения нейтральной оси получают аналогично предыдущему.