Глава 2. Действия над матрицами
Сумма двух матриц и
одинаковых размеров определяется как матрица
тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц, т. е.
, если
. Пусть, например,
и
, тогда
Из приведенного определения следует, что операция сложения матриц коммутативна, т. е. , и ассоциативна, т. е.
. Она естественным образом распространяется на любое число слагаемых. Очевидно также, что матрица
не изменяется при суммировании ее с нулевой матрицей тех же размеров, т. е.
.
По определению произведением матрицы на число
(скаляр) является матрица
, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов матрицы
на это число
, т. е.
.
Очевидно, справедливы следующие соотношения: ;
;
, где
и
–
матрицы одинакового размера;
и
– числа (скаляры). Общий множитель элементов можно выносить за знак матрицы, считая его скалярным множителем.
Разность двух матриц одинаковых размеров сводится к уже рассмотренным операциям соотношением , т. е.
, если
.
Множество всех прямоугольных матриц одинакового размера образует линейное пространство над числовым полем с внутренней операцией – сложением матриц и внешней операцией – умножением матрицы на число.
Произведением матрицы размера (
) на матрицу
размера (
) является матрица
размера (
), элемент
которой, расположенный в
-клетке, равен сумме произведений элементов
-й строки матрицы
на соответствующие элементы
-го столбца матрицы
, т. е.
.
Умножение на
допустимо (произведение
существует), если число столбцов
равно числу строк
, т. е. эти две матрицы согласуются по форме.
При выполнении операции умножения матриц по рассмотренному правилу удобно пользоваться схемой, приведенной на рис. 1
![]() |
Рис. 1 |
На рис. 2 показаны схемы для типичных случаев умножения матриц. В результате умножения двух матриц получается также матрица (рис. 2а). Произведение матрицы на столбец дает столбец (рис. 2б), а строки на матрицу–строку (рис. 2в). При умножении строки на столбец получается матрица с единственным элементом (рис. 2г), которая отождествляется с этим элементом. В случае умножения столбца на строку получается матрица (рис. 2д).
![]() | ![]() | ![]() |
а | б | в |
![]() | ![]() | |
г | д | |
Рис. 2 |
Для матриц и
существует как произведение
размера m×m, так и произведение
размера n×n.
Ясно, что при
эти произведения не могут быть равными уже вследствие различных размеров результирующих матриц. Но даже при
, т. е. в случае квадратных матриц одинакового порядка, произведения
и
не обязательно равны между собой. Например, для матриц
и
произведение
, а произведение
.
Отсюда следует, что операция умножения матриц не подчиняется коммутативному закону ( ). Если выполняется соотношение
, то матрицы
и
называют коммутирующими. Ассоциативный и дистрибутивный законы для матричного умножения выполняются во всех случаях, когда размеры матриц допускают соответствующие операции:
(ассоциативность),
и
(дистрибутивность умножения слева и справа относительно сложения).
Умножение матрицы на единичную матрицу
-го порядка слева и на единичную матрицу
-го порядка справа не изменяет этой матрицы, т. е.
.
Если хотя бы одна из матриц произведения является нулевой, то в результате получается нулевая матрица. Однако, из
не обязательно следует, что
или
. В этом можно убедиться на следующем примере. Пусть
и
. Тогда
.
Произведения одинаковых квадратных матриц можно записать как ее степень
,
и т. д. Как и для чисел имеют место обычные свойства:
,
,где
и
– положительные числа для произвольной квадратной матрицы и любые целые числа (положительные, отрицательные и нуль) для неособенной матрицы. В частности,
.Никакая степень числа, отличного от нуля, не может равняться нулю. В то же время степень квадратной матрицы
может равняться нулевой, даже если
– ненулевая матрица. Если
для некоторого положительного числа
, то
называется нильпотентной матрицей.
Подобно многочлену от числовой переменной существует понятие многочлена от матрицы:
, где коэффициенты
являются вещественными или комплексными числами. Формально многочлен от матрицы можно рассматривать как результат подстановки в алгебраический многочлен
вместо переменной
квадратной матрицы
. При этом матричный многочлен
также является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица
. Правила действий над многочленами от матрицы подобны соответствующим правилам для обычных (скалярных) многочленов.
Над прямоугольными матрицами любых размеров может выполняться операция, называемая кронекеровым произведением. Кронекерово (прямое, тензорное) произведение -матрицы
на
-матрицу
обозначается
и выражается матрицей размера
:
.
Можно показать, что при существовании обычных матричных произведений и
справедливо соотношение:
. Имеют место также следующие свойства кронекерового произведения:
и
.
Преобразование матрицы , состоящее в замене строк столбцами (или столбцов строками) при сохранении их нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной к матрице
и обозначается
.
Произвольная -матрица при транспонировании становится
-матрицей, а элемент
занимает
клетку, т. е.
. Если квадратная матрица совпадает со своей транспонированной, т. е.
, то она называется симметричной и ее элементы связаны соотношением
(симметрия относительно главной диагонали). Матрица, для которой
называется кососимметричной, и ее элементы связаны соотношением
. Она, как и симметричная матрица, всегда квадратная, но диагональные элементы равны нулю, т. е.
. Ниже приведены примеры симметричной матрицы
и кососимметричной матрицы
:
;
.
Ясно, что не все элементы таких матриц могут быть выбраны произвольно. Можно убедиться, что из элементов для симметричной матрицы независимыми могут быть только
, а для кососимметричной –
элементов.
Комплексно-сопряженная и транспонированная матрица называется сопряженной с
. Матрица, равная своей сопряженной, т. е.
, называется эрмитовой. Если
то
– косоэрмитова матрица.
Легко показать, что транспонирование произведения равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке:
. Дважды транспонированная матрица равна исходной, т. е.
.
В обычной алгебре два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными. Число, обратное числу , обозначается через
и по определению
. Аналогично в матричной алгебре две квадратные матрицы, произведение которых равно единичной матрице, т. е.
, называют взаимно обратными (матрица
является обратной к матрице
). Однако на этом аналогия заканчивается. Выражение
, где
и
– числа, можно представить как частное от деления
на
, но для матриц такое представление не имеет смысла и в общем случае
. Поэтому вместо операции деления
на
различают левое частное
и правое частное
, которые сводятся к умножению слева или справа на обратную матрицу
.
Часто приходится иметь дело с матрицами, элементами которых являются не числа, а функции от скалярного аргумента (времени или любой другой переменной). Дифференцирование и интегрирование таких матриц сводится к правилам, аналогичным обычным правилам дифференцирования и интегрирования с одним существенным отличием. Так как произведение матриц в общем случае некоммутативное, то необходимо следить за сохранением первоначального порядка следования сомножителей. Пусть матрица
размера
имеет своими элементами дифференцируемые функции
скалярного аргумента
. Производная матрицы
по переменной
определяется как
,
т. е. дифференцирование матрицы сводится к дифференцированию всех ее элементов по той же переменной. Имеют место также соотношения:
;
.
Если в первом из приведенных соотношений порядок следования матриц и их производных безразличен, то во втором он должен быть строго выдержан.
Интеграл от матрицы определяется как матрица, элементы которой равны интегралам от соответствующих элементов исходной матрицы, т. е.
.
Контрольные вопросы к лекции 11
11-1. Что называется матрицей?
11-2. Что называется элементом матрицы?
11-3. Когда две матрицы равны?
11-4. Какая матрица называется комплексной?
11-5. Какая матрица называется комплексно сопряженной?
11-6. Какая матрица называется диагональной?
11-7. Какая матрица называется единичной?
11-8. Какая матрица называется треугольной?
11-9. Как находится сумма двух матриц одинакового размера?
11-10. Как находится произведение матрицы на скаляр?
11-11. Как находится разность двух матриц одинаковых размеров?
11-12. Как находится произведение матрицы размера (
) на матрицу
размера (
)?
11-13. Когда существует произведение матрицы на матрицу
?
11-14. Что получается в результате умножения матрицы на столбец?
11-15. Что получается в результате умножения строки на матрицу?
11-16. Что получается в результате умножения строки на столбец?
11-17. Что получается в результате умножения столбца на строку?
11-18. Какие матрицы называются коммутирующими?
11-19. Что представляет собой степень матрицы?
11-20. Какая матрица называется нильпотентной?
11-21. Что представляет собой многочлен от матрицы?
11-22. Как получается кронекерово произведение матриц?
11-23. Какое преобразование матрицы называется транспонированием?
11-24. Какая квадратная матрица называется симметричной?
11-25. Какая квадратная матрица называется кососимметричной?
11-26. Какая матрица называется эрмитовой?
11-27. Какая матрица называется косоэрмитовой?
11-28. Какая матрица называется обратной?
11-29. Как определяется производная матрицы по переменной
?
11-30. Как определяется интеграл от матрицы ?
Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 2573;