Глава 2. Действия над матрицами

Сумма двух матриц и одинаковых размеров определяется как матрица тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц, т. е. , если . Пусть, например, и , тогда

Из приведенного определения следует, что операция сложения матриц коммутативна, т. е. , и ассоциативна, т. е. . Она естественным образом распространяется на любое число слагаемых. Очевидно также, что матрица не изменяется при суммировании ее с нулевой матрицей тех же размеров, т. е. .

По определению произведением матрицы на число (скаляр) является матрица , элементы которой получаются умножением соответствующих элементов матрицы на это число , т. е. .

Очевидно, справедливы следующие соотношения: ; ; , где и – 
матрицы одинакового размера; и – числа (скаляры). Общий множитель элементов можно выносить за знак матрицы, считая его скалярным множителем.

Разность двух матриц одинаковых размеров сводится к уже рассмотренным операциям соотношением , т. е. , если .

Множество всех прямоугольных матриц одинакового размера образует линейное пространство над числовым полем с внутренней операцией – сложением матриц и внешней операцией – умножением матрицы на число.

Произведением матрицы размера ( ) на матрицу размера ( ) является матрица размера ( ), элемент которой, расположенный в -клетке, равен сумме произведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы , т. е.

.

Умножение на допустимо (произведение существует), если число столбцов равно числу строк , т. е. эти две матрицы согласуются по форме.

При выполнении операции умножения матриц по рассмотренному правилу удобно пользоваться схемой, приведенной на рис. 1

Рис. 1

На рис. 2 показаны схемы для типичных случаев умножения матриц. В результате умножения двух матриц получается также матрица (рис. 2а). Произведение матрицы на столбец дает столбец (рис. 2б), а строки на матрицу–строку (рис. 2в). При умножении строки на столбец получается матрица с единственным элементом (рис. 2г), которая отождествляется с этим элементом. В случае умножения столбца на строку получается матрица (рис. 2д).

а	б	в
г	д
Рис. 2

Для матриц и существует как произведение размера m×m, так и произведение размера n×n.
Ясно, что при эти произведения не могут быть равными уже вследствие различных размеров результирующих матриц. Но даже при , т. е. в случае квадратных матриц одинакового порядка, произведения и не обязательно равны между собой. Например, для матриц и произведение , а произведение .

Отсюда следует, что операция умножения матриц не подчиняется коммутативному закону ( ). Если выполняется соотношение , то матрицы и называют коммутирующими. Ассоциативный и дистрибутивный законы для матричного умножения выполняются во всех случаях, когда размеры матриц допускают соответствующие операции: (ассоциативность), и (дистрибутивность умножения слева и справа относительно сложения).

Умножение матрицы на единичную матрицу -го порядка слева и на единичную матрицу -го порядка справа не изменяет этой матрицы, т. е. .

Если хотя бы одна из матриц произведения является нулевой, то в результате получается нулевая матрица. Однако, из не обязательно следует, что или . В этом можно убедиться на следующем примере. Пусть

и . Тогда .

Произведения одинаковых квадратных матриц можно записать как ее степень , и т. д. Как и для чисел имеют место обычные свойства: , ,где и – положительные числа для произвольной квадратной матрицы и любые целые числа (положительные, отрицательные и нуль) для неособенной матрицы. В частности, .Никакая степень числа, отличного от нуля, не может равняться нулю. В то же время степень квадратной матрицы может равняться нулевой, даже если – ненулевая матрица. Если для некоторого положительного числа , то называется нильпотентной матрицей.

Подобно многочлену от числовой переменной существует понятие многочлена от матрицы: , где коэффициенты являются вещественными или комплексными числами. Формально многочлен от матрицы можно рассматривать как результат подстановки в алгебраический многочлен вместо переменной квадратной матрицы . При этом матричный многочлен также является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица . Правила действий над многочленами от матрицы подобны соответствующим правилам для обычных (скалярных) многочленов.

Над прямоугольными матрицами любых размеров может выполняться операция, называемая кронекеровым произведением. Кронекерово (прямое, тензорное) произведение -матрицы на -матрицу обозначается и выражается матрицей размера :

.

Можно показать, что при существовании обычных матричных произведений и справедливо соотношение: . Имеют место также следующие свойства кронекерового произведения: и .

Преобразование матрицы , состоящее в замене строк столбцами (или столбцов строками) при сохранении их нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной к матрице и обозначается .

Произвольная -матрица при транспонировании становится -матрицей, а элемент занимает клетку, т. е. . Если квадратная матрица совпадает со своей транспонированной, т. е. , то она называется симметричной и ее элементы связаны соотношением (симметрия относительно главной диагонали). Матрица, для которой называется кососимметричной, и ее элементы связаны соотношением . Она, как и симметричная матрица, всегда квадратная, но диагональные элементы равны нулю, т. е. . Ниже приведены примеры симметричной матрицы и кососимметричной матрицы :

; .

Ясно, что не все элементы таких матриц могут быть выбраны произвольно. Можно убедиться, что из элементов для симметричной матрицы независимыми могут быть только , а для кососимметричной – элементов.

Комплексно-сопряженная и транспонированная матрица называется сопряженной с . Матрица, равная своей сопряженной, т. е. , называется эрмитовой. Если то – косоэрмитова матрица.

Легко показать, что транспонирование произведения равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: . Дважды транспонированная матрица равна исходной, т. е. .

В обычной алгебре два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными. Число, обратное числу , обозначается через и по определению . Аналогично в матричной алгебре две квадратные матрицы, произведение которых равно единичной матрице, т. е. , называют взаимно обратными (матрица является обратной к матрице ). Однако на этом аналогия заканчивается. Выражение , где и – числа, можно представить как частное от деления на , но для матриц такое представление не имеет смысла и в общем случае . Поэтому вместо операции деления на различают левое частное и правое частное , которые сводятся к умножению слева или справа на обратную матрицу .

Часто приходится иметь дело с матрицами, элементами которых являются не числа, а функции от скалярного аргумента (времени или любой другой переменной). Дифференцирование и интегрирование таких матриц сводится к правилам, аналогичным обычным правилам дифференцирования и интегрирования с одним существенным отличием. Так как произведение матриц в общем случае некоммутативное, то необходимо следить за сохранением первоначального порядка следования сомножителей. Пусть матрица размера имеет своими элементами дифференцируемые функции скалярного аргумента . Производная матрицы по переменной определяется как

,

т. е. дифференцирование матрицы сводится к дифференцированию всех ее элементов по той же переменной. Имеют место также соотношения:

; .

Если в первом из приведенных соотношений порядок следования матриц и их производных безразличен, то во втором он должен быть строго выдержан.

Интеграл от матрицы определяется как матрица, элементы которой равны интегралам от соответствующих элементов исходной матрицы, т. е.

.

Контрольные вопросы к лекции 11

11-1. Что называется матрицей?

11-2. Что называется элементом матрицы?

11-3. Когда две матрицы равны?

11-4. Какая матрица называется комплексной?

11-5. Какая матрица называется комплексно сопряженной?

11-6. Какая матрица называется диагональной?

11-7. Какая матрица называется единичной?

11-8. Какая матрица называется треугольной?

11-9. Как находится сумма двух матриц одинакового размера?

11-10. Как находится произведение матрицы на скаляр?

11-11. Как находится разность двух матриц одинаковых размеров?

11-12. Как находится произведение матрицы размера ( ) на матрицу размера ( )?

11-13. Когда существует произведение матрицы на матрицу ?

11-14. Что получается в результате умножения матрицы на столбец?

11-15. Что получается в результате умножения строки на матрицу?

11-16. Что получается в результате умножения строки на столбец?

11-17. Что получается в результате умножения столбца на строку?

11-18. Какие матрицы называются коммутирующими?

11-19. Что представляет собой степень матрицы?

11-20. Какая матрица называется нильпотентной?

11-21. Что представляет собой многочлен от матрицы?

11-22. Как получается кронекерово произведение матриц?

11-23. Какое преобразование матрицы называется транспонированием?

11-24. Какая квадратная матрица называется симметричной?

11-25. Какая квадратная матрица называется кососимметричной?

11-26. Какая матрица называется эрмитовой?

11-27. Какая матрица называется косоэрмитовой?

11-28. Какая матрица называется обратной?

11-29. Как определяется производная матрицы по переменной ?

11-30. Как определяется интеграл от матрицы ?