Минимизация числа опытов

Дробный факторный эксперимент

Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффи­циентов линейной модели. Другими словами, полный фак­торный эксперимент обладает большой избыточностью опы­тов. Было бы заманчивым сократить их число за счет той информации, которая не очень существенна при построении линейных моделей. При этом нужно стремиться к тому, чтобы матрица планирования не лишилась своих опти­мальных свойств. Сделать это возможно.

Минимизация числа опытов

Рассмотрим полный факторный эксперимент 2².

х₁х₂ – взаимодействие факторов 2-го порядка (парное взаимодействие).

Пользуясь таким планированием, можно вычислить че­тыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде неполного квадратного уравнения

Здесь, например, b₁₂=(y₁-y₂-y₃+y₄)/4.

Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан ли­нейной моделью, то достаточно определить три коэффи­циента: b₀, b₁, b₂.

Остается одна степень свободы (один столбец с произведением факторов; для линейной модели он оказывается лишним). Воспользуемся этим столбцом для минимизации числа опытов. Представим данный столбец как третий фактор (х₃); тогда коэффициент b₁₂ будет выполнять роль коэффициента b₃. Следует учесть, что в этом случае существенно меняется смысл коэффициентов b1 и b2. Чтобы увидеть это, сравним приведенную матрицу с матрицей полного факторного эксперимента 2³.

Отметим, что приведенная матрица строится из предположения, что x₃=x₁x₂, а для факторов х₁ и х₂ должны быть все возможные их комбинации; при этом должно быть 8 опытов. Все парные и тройное взаимодействия – вынужденные значения; они получаются произведением значений соответствующих столбцов!

Как видим, есть совпадения в значениях факторов. Т.е. данный план не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к планам полного факторного эксперимента (не является ортогональным).

Найдем оценки коэффициентов. Здесь уже не будет тех раз­дельных оценок, которые мы имели в полном факторном эксперименте. Оценки смешаются (это связано с тем, что повторяются значения столбцов, например 1 и 23). Таким образом, оценки будут иметь следующий смысл:

- в оценке коэффициента b₁ одновременно присутствует и оценка коэффициента b₁₂;

- в оценке коэффициента b₂ одновременно присутствует и оценка коэффициента b₁₃;

- в оценке коэффициента b₃ одновременно присутствует и оценка коэффициента b₂₃;

- в оценке коэффициента b₀ одновременно присутствует и оценка коэффициента b₁₂₃;

Этот факт записывается следующим образом:

;

; (1)

;

;

Иначе говоря, каждый из указанных коэффициентов не определяет в чистом виде зависимость параметра оптимизации от соответствующих факторов.

Но это не является важным. Ведь постулируется линейная модель. Поэтому все парные взаимодей­ствия не значимы и ими можно пренебречь, т.е.

b₂₃@0; b₁₂@0; b₁₃@0; b₁₂₃@0.

Главное здесь то, что найдено средство минимизировать число опытов: вместо 8 опытов для оценки влияния трех факторов можно поставить четыре.

При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств (ортогональность, ротатабельность). Здесь отметить, что речь идет о матрице, определяемой первой таблицей.

Полученное правило формулируется следующим образом: чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренеб­речь; при этом значение нового фактора в экспериментах определяется знаками этого столбца.

Отметим, что с увеличением числа факторов вопрос о минимизации числа опытов не решается так просто, как для трех факторов.

Дробная реплика

Напомним, что в результате выполнения эксперимента (постановки какого-либо числа опытов) рассчитывается модель системы, т.е. зависимость параметра оптимизации у от факторов в виде y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x_2.

Эта зависимость называется откликом системы. Напомним также, что отклик системы не используется для глубокого анализа системы; он служит только для аппроксимации ее в окрестности центра эксперимента и поиска экстремума методом крутого восхождения.

При постановке 4 опытов для оценки влияния трех факторов используется половина опытов от полного факторного эксперимента 2^к. В этом случае говорят, что использована полуреплика.

Обратим внимание на выделенные столбцы. Вторая часть плана (при условии, что он удовлктворяет предъявляемым к ПФЭ требованиям) получается, если х₃=-х₁х₂. Тогда:

В этом случае порядок смешивания оценок коэффициентов (говорят – «смешивания факторов») будет отличаться от приведенного выше изменением знаков с «+» на «-». Иначе говоря, можно поставить дробный эксперимент и по плану второй части приведенной матрицы. Если после этого усреднить значения коэффициентов, полученные по первому и второму дробным планам, то можно увидеть, что они определяются уже без смешивания. Т.е. при реализации обоих полуреплик восстанавливается план полного факторного эксперимента.

Известно, что для 4 факторов матрица плана ПФЭ составляет 16 опытов. Следовательно полуреплика – 8. Для 5 факторов ПФЭ составляет 32 опыта. Для него полуреплика – это 16 опытов. Но можно поставить и 8! (В плане 2³ всего 7 столбцов, при этом 4 из них представляют парные и тройное взаимодействие; следовательно все они могут быть использованы как факторы дробного плана, в том числе и для постановки 8 опытов в случае 5 факторов). Этот план называется четвертьрепликой (1/4 – репликой).

Для обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, используют условное обозначение 2^k-p.

Выбор полуреплики

Для каждого случая существует только две полуреплики. Если рассмотреть случай трех факторов, то эти полуреплики получаются исходя из соотношений: x₃=x₁x₂ или x₃=-x₁x₂ (2).

Для произведения трех столбцов матрицы 1 выполняется соотношение:

+1 = x₁x₂x₃;

для матрицы 2:

-1 = x₁x₂x₃.

Данные соотношения получаются умножением соотношений (2) на х₃, при этом учитывается, что для любого фактора х_i²=1.

Символическое обозначение произведения столбцов, равного +1 или –1, называется определяющим контрастом.

При помощи определяющего контраста можно определить, с какими эффектами взаимодействия смешивается значение коэффициента линейной модели. Для того, чтобы определить, какой эффект смешан с данным коэффициентом, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Например, если используется контраст = +1, то для х1 имеем:

х₁=х₁²х₂х₃=х₂х₃.

Аналогично для других факторов. Таким образом, для рассматриваемого случая получим соотношения, приведенные выше (1, кроме х₀).

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный коэффициент, называется генерирующим соотношением.

Каждому генерирующему соотношению соответствует единственный определяющий контраст (и наоборот, т.е. между ними ВОС).

Например, при выборе полуреплики 2^4-1 возможны восемь вариантов:

1. х₄=х₁х₂

2. x₄=-x₁x₂

3. x₄=x₂x₃

4. x₄=-x₂x₃

5. x₄=x₁x₃

6. x₄=-x₁x₃

7. x₄=x₁x₂x₃

8. x₄=-x₁x₂x₃.

Все эти варианты различаются по качеству оценок. Наилучшим оно будет для последнего варианта (даже если модель «не вполне линейна», смешивание с эффектами взаимодействия третьего порядка можно считать незначимым).

Порядок выбора полуреплики таков.

1. Определить размерность ПФЭ, который является полурепликой для данного количества факторов.

2. Построить матрицу этого ПФЭ.

3. Выбрать на основании построенной матрицы генерирующее соотношение.

4. Найти соответствующий выбранному генерирующему соотношению определяющий контраст и определить систему смешивания факторов.