Теоремы Ролля, Лагранжа и формула Тейлора

Теорема Ролля.Если функция непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема в интервале (а,b) и , то в интервале (а,b) найдется хотя бы одно значение , при котором (Рис. 4.7).

Если, в частности, , , то теорема Ролля означает, что между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной.

Рис. 4.7 Рис. 4.8

Теорема Лагранжа (о конечном приращении).Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (а,b), то в этом интервале найдется хотя бы одно значение , при котором выполняется равенство .

Доказательство.Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (а,b), так как этим условиям удовлетворяет функция . Очевидно, что и . Поэтому функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует такое, что , то есть . Отсюда получаем , что и требовалось доказать.

Эти теоремы имеют такой геометрический смысл: на дуге АВ непрерывной кривой , имеющей в каждой внутренней точке определенную касательную (не параллельную оси Оу), найдется хотя бы одна внутренняя точка, в которой касательная параллельна хорде АВ. (Для теоремы Ролля и хорда АВ, и касательная параллельны оси Ох.) (Рис. 4.7).

Формула Тейлора. Функция , дифференцируемая раз в некотором интервале, содержащем точку а, может быть представлена в этом интервале в виде суммы многочлена n-й степени и остаточного члена :