Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Существуют разные методы интегрирования уравнения (2). Один из них

метод Бернулли заключается в том, что решение этого уравнения ищут в виде произведения

y = uv (3)

где u=u(x), v = v(x) – неизвестные функции от переменной х , причем одна из этих функций произвольная, но не тождественно равная нулю.

Найдя производную y’ = u’v+v’u и подставив значения у и у’ в уравнение (2), получим

u’v+u (v’+p(x)v)= f(x)

воспользовавшись произвольностью в выборе функции v(x), выберем ее так, чтобы

v’+p(x)v = 0 (4)

тогда u’v = f(x) (5)

Решим эти уравнения , разделив в уравнении (4) переменные и проинтегрировав:

- общее решение уравнения (4)

Возьмем за v какое-нибудь частное решение уравнения (4), например при С=1. Подставив его в уравнение (5), находим функцию u

; (6)

Подставив функции (4) и (6) в произведение (3), получим общее решение уравнения (2)

(7)

6. Дифференциальные уравнения второго порядка.

План.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

2. Примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка.

3. Решение дифференциальных уравнений в комплексных числах.