Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19)

Рекомендуемая литература:

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 6 (§ 6.1–6.3), гл. 7 (§ 7.1, 7.2), гл. 4 (§ 4.1, 4.2).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 5 (§ 23–24), гл. 15.

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 7 (§ 7.6–7.8, 7.10), гл. 5 (§ 5.1–5.5).

Если Вы научились строить эпюры Q и М, то можете приступать к проверке прочности балок. Задача о проверке прочности балки чаще всего сводится к решению двух вопросов:

* подбору сечения балки, т. е. определению таких минимальных размеров поперечного сечения, которые удовлетворяют условиям прочности в опасных точках;

* определению грузоподъемности балки, т. е. нахождению такой максимальной нагрузки (допускаемой нагрузки) на балку, при которой удовлетворяются условия прочности во всех опасных точках.

Рассмотрим примеры проверки прочности балок круглого или прямоугольного сечений, двутавровых балок и балок произвольного моносимметричного сечения.

Пример 1

Условие задачи

На балку круглого поперечного сечения действует нагрузка, показанная на рис. 4.8, а. Требуется подобрать размеры поперечного сечения (или определить грузоподъемность балки) так, чтобы выполнялись условия прочности во всех опасных точках.

Решение

Строим эпюры Q и М (рис. 4.8, б). Эпюры Q и М нужны для того, чтобы найти положение опасных сечений и опасных точек в балке. Найдем положение опасных сечений для этой балки. Опасными сечениями в балках круглого и прямоугольного сечений являются:

* сечение, где действует максимальный по модулю изгибающий момент (сечение а–а на рис. 4.8, в);

* сечение, где действует наибольшая по абсолютной величине поперечная сила (сечение b–b на рис. 4.8, в).

В опасных сечениях находятся опасные точки –точки, в которых действуют либо максимальные нормальные, либо максимальные касательные напряжения. Чтобы найти положение опасных точек, посмотрим на эпюры распределения нормальных s и касательных t напряжений по высоте балки, которые построены на рис. 4.8, в. Из эпюры s видно, что наибольшие нормальные напряжения действуют в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси y. Таким образом, опасными точками с максимальными нормальными напряжениями являются точки 1, 1¢, расположенные в сечении а–а (рис. 4.8, в). В одной точке действуют максимальные растягивающие напряжения, в другой – максимальные сжимающие. В данной задаче в сечении а–а максимальный момент положителен, т. е. он изгибает балку выпуклостью вниз, поэтому в точке 1 действуют растягивающие, а в точке 1¢ – сжимающие напряжения. Если допускаемые напряжения при растяжении и сжатии материала балки одинаковы (дерево или пластичный материал), то обе точки являются равноопасными. Опасная точка с максимальными касательными напряжениями, как видно из эпюры t, расположена на оси балки в сечении b–b, где действует наибольшая поперечная сила (точка 2 на рис. 4.8, в).

Рис. 4.8. К решению примера 1 о проверке прочности балки: а – схема балки с нагрузками; б – эпюры внутренних усилий; в – опасные сечения и опасные точки

Запишем условия прочности в опасных точках. Начнем с рассмотрения опасных точек 1, 1¢, так как именно эти точки чаще всего бывают наиболее опасными. Эти точки находятся в линейном напряженном состоянии (рис. 4.9, а) и условие прочности в этих точках записывается так же, как при растяжении-сжатии:

,

Рис. 4.9. Напряженное состояние опасных точек

где максимальные напряжения определяем по формуле (4.3). Тогда условие прочности в точках 1, 1¢ будет иметь вид

.

Если стоит задача подбора сечения, то из этого условия находим требуемый момент сопротивления балки:

,

а, зная момент сопротивления, по формулам (4.5) определяем размеры поперечного сечения балки. Например, для балки круглого поперечного сечения необходимый радиус . Для деревянных балок диаметр ходовых бревен ограничен и не должен быть больше 26 см. Для бревна с радиусом 13 см момент сопротивления равен 1725 см³ . Если полученное из условия прочности значение необходимого момента сопротивления будет больше 1725 см³, то следует подобрать сечение из нескольких бревен. В рассматриваемом примере для деревянной балки с [s] = 10 МПа = 1кН/см² найдем см³. Тогда количество бревен 3500/1725 = 2,1 » 3 (Округляем всегда в большую сторону). Момент сопротивления одного из трех бревен см³ и радиус каждого бревна будет = 11,4 » 12 см. Заметим, что полученный результат (сечение из трех бревен с радиусом 12 см) справедливо, если все бревна располагать горизонтально, перпендикулярно плоскости изгиба.

Если требуется определить грузоподъемность балки, то из условия прочности в точках 1, 1¢ находим максимальное значение изгибающего момента:

,

которое зависит от нагрузки. Зная эту зависимость из эпюры М, найдем значение допускаемой нагрузки.

Решение задачи будет закончено только тогда, когда мы убедимся, что полученный размер поперечного сечения балки (или найденная допускаемая нагрузка) удовлетворяют условию прочности во второй опасной точке. Поскольку в точке 2 действуют только касательные напряжения (нормальные напряжения в точках, лежащих на оси балки, равны нулю – это видно из эпюры s на рис 4.8, в), то напряженное состояние этой точки – чистый сдвиг (рис. 4.9, б). Если неизвестно опытное значение допускаемого касательного напряжения, то условие прочности при чистом сдвиге записывается по соответствующей материалу балки теории прочности. Например, для пластичного материала из формул (4.9), (4.10) для чистого сдвига можно записать такие условия прочности для точки 2:

– по третьей теории и

– по четвертой теории прочности.

Для деревянной балки, а дерево – анизотропный материал, теории прочности, полученные для изотропных материалов, не справедливы. В этом случае для проверки прочности необходимо знать допускаемое значение касательного напряжения [t], полученное на основании опытных данных. Тогда для деревянной балки условие прочности в точке 2 записывается так:

.

Здесь максимальное касательное напряжение определяем в зависимости от формы поперечного сечения по формулам (4.6). Например, для рассматриваемой балки с подобранным сечением из трех бревен радиусом 12 см

кН/см²,

что меньше [t] = 2 МПа = 0,2 кН/см².

Если условие прочности в точке 2 выполняться не будет, то необходимо подобрать сечение или найти грузоподъемность балки из условия прочности в этой точке.

Пример 2

Условие задачи

Стальная прокатная двутавровая балка загружена нагрузками, показанными на рис. 4.10, а. Подберем номер двутавра так, чтобы выполнялись условия прочности во всех опасных точках.

Решение

Строим эпюры Q и М. По построенным эпюрам Q и М (рис. 4.10, б) найдем положение опасных точек в двутавровой балке. Сначала покажем на фасаде балки опасные сечения. Кроме опасных сечений, где действуют максимальный изгибающий момент (сечение а–а на рис. 4.10, в) и наибольшая поперечная сила (сечение b–b на рис. 4.10, в), в двутавровой балке существует еще одно опасное сечение – это сечение, где Q и М одновременно имеют большие значения. В рассматриваемом примере это сечение с–с на рис. 4.10, в. В опасных сечениях находятся опасные точки. В сечении а–а – точки 1, 1¢ с максимальными нормальными напряжениями, в сечении b–b – точка 2, в которой действует наибольшее касательное напряжение. Особенностью проверки прочности двутавровой балки является появление новых по сравнению с балками круглого и прямоугольного сечений опасных точек. Это связано с особенностью эпюры распределения касательных напряжений по высоте двутавра. Точки 3, 3¢, находящиеся в сечении с–с и расположенные в крайних точках стенки на сопряжении с полкой (рис. 4.10, в), опасны, так как в них одновременно действуют большие нормальные и большие касательные напряжения.

Подберем размер двутавра (номер двутавра) из условия прочности в точках 1, 1¢ – именно эти точки являются, как правило, наиболее опасными, а затем проверим прочность в остальных опасных точках. Точки 1, 1¢ находятся в линейном напряженном состоянии (рис. 4.9, а) и условие прочности в этих точках имеет вид

.

Рис. 4.10. К решению примера 2 о проверке прочности двутавровой балки: а – схема балки с нагрузками; б – эпюры внутренних усилий; в – опасные сечения и опасные точки

Отсюда определяем необходимый момент сопротивления . По таблице сортамента прокатной стали (например, в [1]) подбираем номер двутавра, у которого момент сопротивления имеет близкое к значение. (Обратите внимание, что в таблице сортамента – другое обозначение осей и принятому нами обозначению там соответствует ). Для балки, изображенной на рис. 4.10, выполненной из стали с допускаемым напряжением 160 МПа,

см³,

и в соответствии с ГОСТ 9239–89 подбираем двутавр № 33, у которого см³.

Рис. 4.11. Отсеченные части сечения: а – для точки 2; б – для точки 3

После того, как найден номер двутавра, необходимо убедиться, что выполняются условия прочности в остальных опасных точках. Точка 2, в которой нормальные напряжения равны нулю, а касательные – максимальны, находится в напряженном состоянии "чистый сдвиг" и условие прочности в ней записывается по теории прочности, справедливой для пластичных материалов (4.9) или (4.10). Максимальные касательные напряжения находим по формуле Журавского (4.2). Рассмотрим подробно как находить статический момент отсеченной части , входящий в формулу Журавского. Статический момент отсеченной части зависит от того, где находится точка, в которой определяется касательное напряжение. Чтобы найти отсеченную часть, надо мысленно разрезать поперечное сечение через точку, в которой ищем t, перпендикулярно направлению касательного напряжения. Любая из "отрезанных" частей может считаться отсеченной. Для точки 2 отсеченная часть сечения показана на рис. 4.11, а (заштрихованная часть) – это половина сечения. Для простых фигур (прямоугольник, круг), положение центра тяжести которых известно, статический момент находится по формуле

,

где А – площадь фигуры; – координата центра тяжести (при вычислении статического момента отсеченной части знак координаты не учитывается, в этом случае – это расстояние от центра тяжести отсеченной части до оси y). Для вычисления статического момента отсеченной части, показанной на рис. 4.11, а , разобьем ее на два прямоугольника: полку и половину стенки. Для каждого прямоугольника находим площадь и расстояние от центра тяжести до оси y. Тогда

.

В этой формуле первое слагаемое – статический момент полки, а второе – статический момент половины стенки. Заметим, что для стандартных двутавров статический момент половины сечения задан в сортаменте (обозначен ) и для найденного двутавра № 33 см³. В формуле Журавского (4.2) для точки 2 – толщина стенки двутавра, – осевой момент инерции находим по таблице сортамента прокатных двутавров (обозначен ) . Подставляя данные для двутавра № 33, получим

кН/см².

Сравнивая максимальное касательное напряжение согласно третьей теории прочности с кН/см² , убеждаемся, что условие прочности в точке 2 выполняется.

Проверим прочность в точках 3, 3¢, которые находятся в "балочном" напряженном состоянии (см. рис. 4.4). Найдем напряжения, действующие в точке 3. Нормальное напряжение ищем по формуле (4.1). Координата точки 3 и

кН/см².

Положительный знак полученного напряжения показывает, что в точке 3, расположенной выше нейтральной оси, действует растягивающее напряжение. Для определения касательного напряжения по формуле Журавского получим сначала статический момент отсеченной части. Отсеченной частью сечения для точки 3 будет полка (см. рис. 4.11, б) и

см³.

Так как точка 3 находится в стенке двутавра, то 0,7 см. Тогда касательное напряжение в точке 3

кН/см².

Подставляя найденные значения s и t в условие прочности по третьей теории (4.9), убеждаемся в том, что оно удовлетворяется:

< 16 кН/см².

На этом процесс подбора двутавра заканчивается.

Примечание. В условии задачи № 17 есть пункты 7 и 8 [4].в которых требуется исследовать напряженное состояние произвольной точки двутавра. (Выполнение этой части задачи необязательны для студентов заочной формы обучения, студенты дневной и вечерней форм обучения могут выполнять эти пункты по требованию преподавателя) Эта часть задачи не имеет отношения к проверке прочности двутавра, носит академический характер и необходима для лучшего освоения теории изгиба. После того, как Вы выбрали произвольную точку, расположенную в сечении, где и Q, и М не равны нулю, найдите нормальное и касательное напряжения в этой точке по формулам (4.1), (4.2), используя те навыки, которые Вы приобрели при определении напряжений в опасных точках. Выделите вокруг исследуемой точки элементарный параллелепипед (элемент) и покажите на рисунке действующие на гранях элемента напряжения с учетом их знаков. Дальше определите главные напряжения и положение главных площадок, применяя знания, полученные при изучении разд. 2 "Исследование плоского напряженного состояния" в [5]. Поверните на рисунке элемент по главным направлениям и покажите на его гранях главные напряжения.

Пример 3

Условие задачи

Рис. 4.12. К решению примера 3 о проверке прочности балки: а – схема балки с нагрузками; б – эпюры поперечной силы и изгибающего момента; в – опасные сечения и опасные точки

На балку моносимметричного сечения, выполненную из чугуна, действует нагрузка, показанная на рис. 4.12, а. Поперечное сечение балки изображает рис. 4.13. Надо найти грузоподъемность балки, т. е. значение допускаемой нагрузки, при которой обеспечена прочность балки.

Решение

Найдем геометрические характеристики заданного поперечного сечения: осевые моменты инерции относительно главных центральных осей. Сечение имеет только одну ось симметрии, эта ось является одной из главных осей инерции. Обозначим ее z. Вторая главная ось y проходит через центр тяжести сечения. Определим положение центра тяжести сечения по формуле

.

Рис. 4.13. Поперечное сечение балки

Статический момент определяем относительно произвольной оси а–а, перпендикулярной оси z (оси симметрии), как сумму статических моментов фигур, составляющих заданное поперечное сечение. В данном случае сечение разбиваем на три прямоугольника и площадь сечения состоит из площадей трех фигур: двух стенок А_с и полки А_п: . Ось а–а рационально расположить так, чтобы статический момент одной из фигур равнялся нулю. Это произойдет, если ось а–а провести через центр тяжести какой-то фигуры, например, через центр тяжести полки (см. рис. 4.13). Тогда статический момент полки равен нулю и полный статический момент S_a равен удвоенному статическому моменту стенки:

.

Здесь первый множитель – удвоенная площадь стенки, второй – координата центра тяжести стенки[5].

Найдя положение центра тяжести сечения, проведем через него вторую главную ось y (см. рис. 4.13). Рекомендуем рисовать сечение в масштабе, тогда по масштабу можно проконтролировать правильность определения центра тяжести сечения. В данном случае очевидно, что центр тяжести должен быть смещен к полке.

Теперь определим осевой момент инерции относительно оси y. Находим его как сумму моментов инерции трех фигур: двух стенок ( ) и полки ( ). Для определения момента инерции каждой фигуры используем формулу

.

Здесь – момент инерции фигуры относительно оси y₀, проходящей через центр тяжести фигуры и параллельной оси y, а – расстояние между осями y и y₀. Таким образом,

.

Расстояния h₁ и h₂ показаны на рис. 4.13. Моменты инерции полки и стенки относительно собственных осей y₀ находим по формуле, справедливой для прямоугольника (4.4),

,

где b – ширина прямоугольника (параллельна оси y₀); h – его высота. Например, для полки

.

Примечание. Рекомендуем для тренировки аналогично найти момент инерции поперечного сечения относительно оси z, несмотря на то, что в проверке прочности этой балки он не участвует.

Строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента, выражая ординаты через неизвестный параметр нагрузки (в данной задаче через q – см. рис. 4.12, б).

Прежде чем находить положение опасных сечений и опасных точек по эпюрам Q и М, выясним как рационально расположить поперечное сечение балки: полкой вверх или полкой вниз. Поскольку чугун – хрупкий материал и прочность при растяжении у него меньше прочности при сжатии, оптимальным положением сечения является такое положение, при котором максимальные растягивающие напряжения будут меньше максимальных по модулю сжимающих напряжений. В рассматриваемом примере максимальный изгибающий момент отрицателен, то есть балка в сечении, где действует , изгибается выпуклостью вверх и растягивающие напряжения будут в верхних волокнах. Поэтому располагаем поперечное сечение так, чтобы центр тяжести сечения был ближе к верхним волокнам, т. е. полкой вверх.

Найдем положение опасных сечений и опасных точек так же, как в двутавровой балке (см. рис. 4.12, в). Поскольку максимальная поперечная сила и наибольший изгибающий момент действуют в данном примере в одном сечении, то опасные точки 1, 1¢, 2 и 3 расположены в одном сечении а–а. Особенностью расчета балок из хрупкого материала является то обстоятельство, что точки 1 и 1¢ не являются равноопасными. Так как хрупкий материал имеет разную прочность при растяжении и сжатии, то проверять прочность надо как в точке 1, в которой действуют максимальные растягивающие напряжения, так и в точке 1¢ с наибольшими сжимающими напряжениями. Если эпюра изгибающих моментов меняет свой знак, как в рассматриваемом примере, то появляется еще одна опасная точка – точка 4 (см. рис. 4.12, в). В этой точке действуют растягивающие напряжения, и поскольку она расположена дальше от нейтральной оси, чем точка 1, величина растягивающего напряжения в точке 4 может оказаться больше, чем в точке 1 несмотря на то, что изгибающий момент в сечении b–b меньше, чем в сечении а–а.

Определим допускаемую нагрузку из условия прочности в точке 1, где действуют максимальные растягивающие напряжения:

,

откуда

.

Здесь – момент сопротивления растяжению; – расстояние до наиболее растянутого волокна показано на рис. 4.13. Для рассматриваемого примера и .

Проверим прочность в остальных опасных точках, используя найденное значение допускаемой нагрузки. В точке 1¢ с наибольшими сжимающими напряжениями

,

где – момент сопротивления сжатию. (Расстояние показано на рис. 4.13.)

Для рассматриваемого примера опасной является и точка 4. Условие прочности в этой точке:

.

Чтобы проверить прочность в точке 2 с максимальными касательными напряжениями, находящейся в напряженном состоянии "чистый сдвиг", необходимо применить теорию прочности, справедливую для хрупкого материала. Например, из теории Мора (4.8) для чистого сдвига получим следующее условие прочности:

,

где максимальное касательное напряжение определяем по формуле Журавского (4.2), в которой статический момент находим для отсеченной части, расположенной по одну (любую) сторону от нейтральной оси.

Наконец, условие прочности в точке 3, где действуют и нормальные (растягивающие), и касательные напряжения, записываем по теории прочности для "балочного" напряженного состояния, справедливой для хрупкого материала, например по теории Мора (4.8). Нормальные и касательные напряжения в этой точке определяем по формулам (4.1) и (4.2).

Если в какой-то точке условие прочности не будет выполняться, необходимо найти новое значение допускаемой нагрузки из условия прочности в этой точке.

Примечание; В рассматриваемой задаче, кроме условия прочности, должно выполняться и условие жесткости, т. е. максимальный прогиб не должен превосходить значения допускаемого прогиба. Эта часть задачи является необязательной. Вопрос о нахождении прогибов решается в следующем разделе "Определение перемещений и проверка жесткости балок".

4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20)