Краткий анализ основ геометрий 5 глава

Линия - множество точек на плоскости, слившееся в длину и не имеющее ширины. След траектории движущейся точки. Объект, характеризуемый длиной, но лишенный ширины. Геометрическая фигура, обладающая только одним качеством - протяженностью. След пересечения двух плоскостей и т.д.

И в этих определениях неявно нарушается статичность геометрии, поскольку присутствует двойственность покоя и движения. Линия неподвижна, а для ее распознавания приходится предполагать некоторое движение, либо приводить в движение точку, которая в свою очередь может быть выражена через линию. Да и сама прямая есть кривая, радиус кривизны которой устремляется (опять же движется) в бесконечность.

Понятие «плоскость», если не считать определением такую тавтологию, как «плоскость - след линии, движущейся на плоскости», определяется, чуть ли не единственным образом: Плоскость есть след линии, движущейся параллельно самой себе. Тут уже для явного движения привлекается понятие, которое само по себе определяется через движение. То есть наличествует двойная двойственность.

Таким образом, основные как бы априорные статические понятия геометрии включают в себя противоречивые противоположные качества: с одной стороны, покоя, а с другой - движения.

Противоречивая двойственность в определении первичных элементарных понятий постоянно вызывала головную боль лучших математических умов, вынуждая их бороться с этой двойственностью различными способами: от снятия противоречий соглашениями по Пуанкаре [10]до отбрасывания их по Гильберту. Приведем четкую, абсолютно абстрактную, логически однозначную формулировку первичных понятий, данную Гильбертом: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы называем точками и обозначаем А, В, С; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c: вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем a, b, g…».

Эта формализация качественных понятий геометрии как вещей (т.е. как тел) - классическое творение свободного ума, отвергающего всякую связь первичных понятий с внешней реальностью. В ней присутствует логическая четкость и однозначная априорность математической абстракции, превращающая всякую форму геометрического движения в неподвижность, покой, статичность. Движение и самодвижение реальных тел как атрибут, присущий всей материи, отвергается, и постулируется возможность существования отдельного самостоятельного покоя тел, который и призвана описывать геометрия. Постулируемая статичность первичных понятий и вызывает появление статических геометрий, обусловливая возможность механического (внесистемного) взаимно независимого соединения элементов геометрии в различные статические фигуры.

Постулируя существование абстрактных неподвижных «вещей», Гильберт автоматически отбрасывает единство связанной двойственности, которая отображает диалектику покоя и движения. Убрав двойственность, он одной операцией лишает геометрию движения, а следовательно и диалектики. Это достаточно небрежное обращение с диалектикой, немедленно отражается на математике, обеспечивая неопределенность ее основанию, превращая все создаваемые геометрические структуры из динамических в статические (превратив не абстрагированием, а постулированием) и рикошетом поражает физику, обеспечив ей в качестве математической основы описания природных явлений заведомо односторонние, а, следовательно, и недвижимые геометрические построения.

В «абстрагированных» Гильбертом понятиях все связи и свойства геометрических элементов растеряны. Неизвестны свойства пространства и неизвестно, осталось ли оно вообще и в каких параметрах соотносится с образуемыми геометрическими фигурам. Отсутствуют даже намеки на движение (но это не мешает геометрам совершать движения в виде математического преобразования в отсутствующем пространстве), и потому последующая интеграция геометрических элементов в новые системы и фигуры может осуществляться любым мыслимым или немыслимым образом только на основе аксиоматики и логики, но не диалектики. Это соединение не может происходить без постулирования способов взаимосвязи геометрических элементов между собой, без «соглашений» использования элементов в применении к природным явлениям.

К тому же полная статичность (самонеподвижность) гильбертова пространства и фигур, находящихся в нем, запрещает последним, какое бы то ни было движение (перемещение) и самих фигур, и их элементов как относительно друг друга, так и относительно пространства. Последний запрет - движение относительно пространства − обусловлен его пустотой, и потому не может быть связей, создающих ориентацию фигур в пустом пространстве. Пространство Гильберта - бескачественное формально – логическое образование, в котором недопустимо образование фигур и которое не имеет отношения к геометрическому пространству и тем более к движению, поскольку в нем протяженность в трех направлениях связана аксиоматически. Можно сказать, что пространство в аксиоматизации Гильберта отсутствует, поскольку не имеет никакой связи с фигурами, заключенными в нем.

Возможность полного абстрагирования первичных элементов от реальных объектов с потерей движения и связей, простым постулированием, создает впечатление независимости, априорности геометрических элементов и математических аксиом. Последующее воссоздание некоей новой неевклидовой или иной геометрии из априорных понятий, как бы из ничего становится «теоретическим» подтверждением этой априорности. К тому же многообразие геометрий требует ответа на возникающие вопросы: Содержит ли статическая геометрия в качестве своего основания некое геометрическое пространство? Существует ли единое для всех геометрий пространство? Или каждая из геометрий «обладает» своим пространством? И если последнее верно, то в чем различие между свойствами этих пространств? И т.д.

Природа и в макрокосме, и в микрокосме имеет одну, единую геометрию, нам неизвестную. И мы как бы свободны в выборе первичных элементов геометрии, т.е. в переходе, например, от конкретных тел к абстракции-точке (однако, чаще бывает по другому, сначала определяют понятие «точка», а уж от нее «абстрагируются» к телу или другим фигурам), но абстрагируясь одним из способов, мы либо сохраняем, либо аннулируем двойственность. А с ликвидацией двойственности разрывается и связь эмпирики с содержанием понятий и аксиом. Создав термин-понятие, имеющий односторонний смысл, мы фиксируем чистую и вроде бы не зависящую от внешнего мира абстракцию, которая уже по этой причине противоречива. Отсутствие двойственных связей или движения в формулировке аксиом и понятий приводит к проявлению двойственного в структуре создаваемых геометрий (например, геометрии Лобачевского и Римана). И хотя аксиоматизация и законы логики способствуют созданию достаточно обоснованных и логически корректных комбинаций из первичных элементов, они не только не гарантируют корректность их взаимосвязи между собой, но и вызывают структурный антагонизм. В результате единая физическая геометрия отграничивается от физики и разделяется на взаимно противоречивые, не сводимые друг к другу геометрии.

И не случайно М. Клайн констатирует [3]: «Математики с досадой и огорчением обнаружили, что несколько различных геометрий (п/ж курсив наш – Авт.) одинаково хорошо согласуются с наблюдательными данными о структуре пространства. Но эти геометрии противоречили одна другой, - следовательно, все они не могли быть одновременно истинными».

Отметим: геометрии не противоречат и не могут противоречить одна другой. В природе отсутствуют противоречия между свойствами. Аксиомы же, постулаты и граничные условия взаимосвязи элементов геометрий противоречить друг другу могут. Они-то и обусловливают противоречивость и образованным, на их основе геометриям. Добавим, априорно истинность формулируемых аксиом, в понимании адекватности природе, выяснить логически не представляется возможным.

Трудно предположить, что в определениях, максимально абстрагированных от природных процессов, но не порывающих с ними, наличие двойственности случайно. Скорее наоборот. Первичным геометрическим понятиям, следствием обобщения многовекового измерительного опыта присуща двойственность как отображение реальности. И эта двойственность не прихоть логики, не игра воображения и даже не мыслительные издержки, а требование диалектического закона единства противоположностей, по которому покой неотделим от движения (это и есть основа возникновения двойственности). Покой и движение, - внутренние атрибуты всех тел и, следовательно, пространства. Усекновение покоя или движения, ликвидация двойственности в определениях первичных понятий равнозначна умерщвлению природы геометрии. Позже мы покажем, куда завело геометрию абстрактное, удобное для применения, свободное от двойственности порождение чистой математической мысли.

Заканчивая изложение раздела, отметим еще раз, что исходным основанием для математики являются не числа, не аксиомы и постулаты, и не понятия, а те качественные свойства реального вещественного пространства (природы), которые изучаются конкретными науками, в первую очередь физикой и обобщаются диалектической философией. К сожалению физики и математики, постигая природу, опирались на философию механицизма, совершенно игнорируя диалектику. Это способствовало разделению современной физики на множество взаимно обособленных разделов, каждый из которых занимается изучением отдельных совокупностей природных свойств, при отсутствии связи между этими совокупностями. И природа видится сквозь такую физику в виде лоскутного одеяла, разделенной на целый ряд самостоятельных направлений, а по-крупному на макро- и микро миры, имеющие свои законы, свои принципы построения, свою математику, и ничего такого, что бы объединяло их. Уже по причине отсутствия диалектики в современной математике и физике сложившееся физическое мировоззрение более чем сомнительно. И потому следует вкратце познакомиться с материальным миром, от которого абстрагируется математика [2].

Глава II

Динамические свойства геометрии

2.1. Тело и его свойства

Поскольку основой математики является материальный мир, то необходимо определиться с исходными понятиями этого мира и в первую очередь с понятиями «тело» и «материя». По современным представлениям внешний мир постулируется материальным, т.е. телесным, и его образует материя. Однако такое представление, по меньшей мере, односторонне, поскольку отрицает наличие мира духовного, мира, образованного Богом, а вместе с ним и телесность духовного мира. Тела вещественные, представляют собой субстанцию, сущность материи, существование которой определяется миром духовным. В настоящей работе рассматривается только тела материального мира.

Субстанция «тело» - важнейшее материальное понятие механики, да и всех естественных наук изучающих материальную природу. И, тем не менее, его понятийное значение оказывается наименее отработанным среди других основных понятий. Отсутствие однозначного толкования понятия «тело» и характеристики его свойств приводит к тому, что тело в естествознании постоянно отождествляют с понятиями «материя», «вещество», «энергия», «масса» и т.д. Т.е. и с субстанцией и со свойствами. Причем, свойство - «масса» в физике, повсеместно подменяет субстанцию «тело». Но если «тело» есть совокупность взаимосвязанных свойств, образующих в данной количественной пропорции определенный природный объект, то «масса» - рядовое свойство любого тела. И подмена субстанции «тело» на свойство «масса», с одной стороны, создает иллюзию естественного описания физических явлений, с другой, образует предпосылки некорректного понимания природных процессов. Поэтому основным для понимания данных процессов становится определение признака, отграничивающего субстанцию «тело» от свойств, его образующих. И такой признак существует - это размерность.

Отсюда тело - совокупность свойств, не имеющая размерности. Единственное «самостоятельное» (в смысле отграниченное от других) природное образование, тождественные аналоги которого в природе отсутствуют. Система, взаимодействующая своими свойствами со всеми окружающими телами и вещественным пространством. Безразмерностность и обусловливает телу свойства субстанции. И как субстанция тело есть целое.

Подчеркнем еще раз. Размерность есть главное отличие свойства от субстанции. А потому все физические параметры, имеющие размерность, являются свойствами и не обладают самостоятельностью от тел. Они - их атрибуты, взаимосвязанные составляющие определенного тела, которое зачастую мы даже не фиксируем как тело. Например, пространство окружающего нас космоса - свойство нашей Галактики, образованное четырьмя неравнозначными размерностными составляющими: «длиной», «шириной», «высотой», «глубиной». Иначе говоря: Галактика - тело. Она безразмерностна и по своему естественному положению в природе, будучи субстанцией, равнозначна всем телам (включая элементарные частицы) и Вселенной в целом. Таким же образом, и пространство, которое образует Солнечная система, тоже есть ее свойство. А свойство - "пространство" быть безразмерностным не может, следовательно, не существует пространства как самостоятельной субстанции, как некоего отдельного вместилища для материи (тел). И каждое тело образует свое пространство (объем).

Свойство - категория, характеризующая определенную, качественную сторону тела (объем, масса, сила, скорость... и т.д.), взаимосвязанная с другими свойствами того же тела, взаимодействующая с аналогичными свойствами других тел и имеющая размерность. Размерность может обозначаться отдельными элементами (например: г, с, см. ... и т.д.) или соотношениями качественных элементов (г/см, см/с...). Свойство, отображенное численной величиной, может называться параметром.

Подчеркнем, свойство это то, что самостоятельно не существует в природе. То, что невозможно отделить от тела, и, следовательно, то, что физически не может быть отдельным. То, что входит только в понятийный аппарат мыслящего существа, но отсутствует в природе как отдельность, являясь для природы ничем. Это полное ничто.В природе бесчисленное количество свойств (ничего).И это бесчисленное количество ничего (свойств) – «образует» тела. То есть «образует» то, что является всем, то, что является целым. Ничто не отделимо от всего. Гносеологически - ничто является всем. Без представления о свойствах как о понятиях, не существующих в реальном мире, но отражающих качественную составляющую тел, мыслящим существам понимать природу невозможно.

Все тела – целое, поскольку все они образуются одними и теми же бесчисленными свойствами. Каждое из них – отдельное целое. Их совокупность – единое многоуровневое целое. Как целое они равнозначны и, в совокупности, составляют единый абсолютный мир. Мир Господа, бесконечный как внутрь, так и наружу. Мир, состоящий из духовных (изначально и вечно живых) и материальных (неживых) тел. Отсюда: Жизнь есть способ существования духовных тел в материальном мире. И хотя свойства всех тел одни и те же, но количественные величины этих свойств (их числовые параметры) различны, что обусловливает качественную несопоставимость духовных и материальных тел, их принципиальное различие.

Все свойства тел являются имманентными, равнозначными, и мыслимое отсутствие любого из них у тела эквивалентно отсутствию тела, а потому в физических уравнениях, описывающих взаимосвязи свойств, не может быть параметров равных 0 или ¥. Таким образом, можно сформулировать абстрактное определение понятия «тело». Тело есть целое,- совокупность бесчисленного количества взаимосвязанных свойств. И, исходя из понятий физического мира, в материальной природе нет ничего, кроме тел, состоящих из совокупности свойств. (Здесь и далее, как уже упоминалось, не затрагиваются аспекты духовного мира.)

Способность материального тела и вещественного пространства отображать количественное изменение одного параметра системы соответствующим изменением остальных называется связью.

Одновременно тело есть система и как таковая имеет свое пространство и входит в систему других тел вещественного пространства, образуя с ними единую взаимосвязанную и взаимодействующую суперсистему. Всякое изменение положения тела в этом пространстве сопровождается изменением количественных параметров всех его свойств.

Из взаимосвязи параметров (свойств) следует, что количественное изменение одного параметра системы неизбежно вызывает линейные и нелинейные изменения всех остальных параметров данной системы.

Физическая система − материальное образование, внутренние и внешние параметры которого взаимосвязаны и взаимно уравновешены. Эти взаимосвязи свойств, при формализации, отображаются уравнениями.

Все окружающие нас тела - системы.

Все они обладают одними и теми же свойствами, которые имеют одни и те же связи, но количественная величина каждого свойства индивидуальна, и это обусловливает различие тел.

Поскольку понятие «тело» является первичным и основным для понимания физических процессов (и основой перехода к его математическому отображению), его следует определять, ориентируясь на реально существующий предмет, обобщая определение на все предметы.

За эталон тела может быть принят стальной шарик радиусом 1 см, образованный бесчисленным количеством свойств, к которым относятся: масса, объем, время, духовность, сила, скорость, ускорение, энергия, движение, отражение, «постоянная» тяготения... и т.д.

Все свойства абсолютны, анизотропны, качественно взаимосвязаны, для системы равнозначимы, количественно изменяемы, имеют определенную размерность и всегда принадлежат телу вне зависимости от того, обнаружили мы их или нет.

Сами по себе тела-субстанции размерности и размеров не имеют и соотносятся между собой сообразно взаимосвязям и количественной величине своих свойств.

Одинаковые (тождественные) тела (включая элементарные частицы) в природе отсутствуют. Их существование отрицается диалектическим принципом бесконечности материи.

Другие тела имеют то же бесчисленное количество свойств, отличающихся от параметров стального шарика только численными величинами. Совокупность численного отличия свойств и обусловливает качественное различие тел. Качественные зависимости и взаимосвязи свойств одинаковы у всех тел. Они-то и могут быть формализованы в виде физических законов, описывающих бескачественную инвариантную взаимосогласованность между ними.

Не может быть свойств, которые присутствовали бы у одних тел и отсутствовали у других, оставались всегда постоянными (например, «постоянная» тяготения, заряд и масса электрона и т.д.) или существовали самостоятельно (время, пространство...). Нет также отдельных, не связанных с другими конечных свойств (энергия, одон, хронон...), как и первичных неразложимых частиц (монады, ноль-частицы, кварки, глюоны, фридмоны...). Не существует одинаковых свойств одной размерности (например, нет двух масс, массы инертной и гравитационной) или различной размерности, как, например, постулируется в работе [12]:

«…масса m и энергия Е, по существу, одно и тоже; они представляют собой не что иное, как две различные формы существования материи».

Здесь в одной фразе не только утверждается взаимная адекватность двух различных свойств, с разной размерностью, но и оба свойства объявляются одной безразмерностной субстанцией.

Количественная величина свойств по объему тела меняется (следствие анизотропности), а с ними меняется само тело. Однакосистема взаимосвязи свойств остается инвариантной. Нарушение системы взаимосвязи внутренними или внешними силами приводит к различному изменению численной величины свойств, к перераспределению связей между ними - до разрушения одних тел и образования других с тем же набором свойств, но с иной численной величиной каждого свойства. Свойства- атрибут тела, и к ним неприменим «принцип дополнительности».

На основании вышеизложенного можно расширить определение понятия «тело». Тело - целое, конечная по объему, отграниченная эквипотенциальной поверхностью часть природы, обладающая бесчисленной совокупностью качественных свойств, образующих систему.

Аналогом понятия «тело» являются: вещь, предмет, иногда (в физике) объект, корпускула, частица, (включая элементарные частицы).

Понятие, абстрагированное от отдельных тел и обусловливающее представление о совокупности тел и их свойств, носит название вещество (среда), и изучается физикой.

Вся окружающая нас природа (включая космическое пространство, являющееся подвижным эфиром) - вещественна. И можно сказать, что вещество образует пространство или, гносеологически,материя образует пространствоматериального мира.

Вещество, а, следовательно, и всякое тело, имеет структурную иерархию и бесконечно вглубь и наружу.

Под бесконечностью вглубь понимается возможность бесконечного дробления (деления на части) тела, которое, хотя и будет вызывать численное изменение параметров свойств получаемых тел (частиц), сопровождаемое качественными изменениями самих тел, никогда не приведет к получению неделимых далее остатков и никогда не закончится. Отсюда возникает парадоксальное на первый взгляд следствие: конечные по объему тела образуются частицами с бесконечными радиусами (например, физический радиус Земли R = ¥).

Под бесконечностью наружу понимается бесконечность движения из любой области пространства в любую сторону, которое всегда будет происходить в веществе, меняющем свою структуру и количественную величину свойств (т.е. качество), но никогда не кончится. И не выйдет за пределы вещества в так называемую «полную» пустоту А. Эйнштейна (знаменитая древнегреческая аналогия − «полет копья»).

Похожая аналогия, порождающая геометрию, «в значительной степени отличную от нашей», приведена в работе А. Пуанкаре [10]:

«Вообразим, например, мир, заключенный внутри большой сферы и подчиненный следующим законам. Температура здесь неравномерна; она имеет наибольшее значение в центре и понижается по мере удаления от него, делаясь равной абсолютному нулю на шаровой поверхности, которая является границей этого мира.

Я определяю в точности даже закон, по которому изменяется эта температура. Пусть R будет радиус граничной поверхности, z − расстояние от центра сферы. Абсолютная температура пусть будет пропорциональна R + z.

Я предположу далее, что в этом мире все тела имеют один и тот же коэффициент расширения, именно такой, что длина какой-нибудь линейки пропорциональна абсолютной температуре.

Наконец я предположу, что предмет, принесенный из одной точки в другую, где температура иная, тотчас же приходит в состояние равновесия с новой средой. В этих допущениях нет ничего ни противоречивого, ни немыслимого.

В таком случае движущийся предмет будет уменьшаться по мере приближения к граничной сфере. Теперь заметим, что хотя этот мир ограничен с точки зрения нашей обычной геометрии, тем не менее, он будет казаться бесконечным для его обитателей (рис.17, а).

В самом деле, когда они пожелали бы приблизиться к граничной сфере, они охлаждались бы и становились все меньше и меньше. Поэтомушаги их постоянно укорачивались бы, и они никогда не смогли бы достигнуть граничной сферы.

Пульсация − единственное в природе движение тел относительно самих себя, пространства и других тел, их прирожденное свойство. Это третий и определяющий вид движения.

Известно, что в механике Ньютона утверждается существование лишь двух видов движения: линейного перемещения и поворота. Третье, обусловливающее существование двух первых на всех уровнях материи, не воспринимается, и как основное свойство самодвижения материи, вызывающее взаимодействие всех тел и все виды их перемещений, на сегодня не рассматривается.

Отметим, что явление «самопульсация» (самодвижение) - важнейшее понятие для представления сущности движения тела. Оно наблюдается у всех тел (галактик, звезд, молекул, атомов, элементарных частиц и т. д.). Но, тем не менее, в классической механике отрицается возможность существования этого явления у таких тел, как планеты, их спутники, небесные камни (кометы, астероиды, метеориты и т.д.), да и у тел на поверхности Земли. Отрицается по той простой причине, что люди никогда ни визуально, ни эмпирически не фиксировали аналогичного процесса на поверхности Земли.

К тому же систематическая самопульсация тел как бы требует для своего поддержания такой же систематической «подпитки» энергией. Поскольку подпитка еще не фиксируется современными методами и не отмечается даже намека на ее существовании (уже потому, что не предполагается), то в соответствии с физической логикой, не может быть и речи ни о какой самопульсации на макроуровне. Тем более, что самопульсацию звезд можно объяснить термоядерными процессами, якобы происходящими в них. Да и в существовании самопульсации элементарных частиц до сих пор физические науки не определились. Господствует мнение об их самонеподвижности, хотя и квантовая физика, и все теории элементарных частиц базируются на волновых процессах. Это привычно, а потому как бы понятно, хотя ответ на вопрос, откуда берется (и немалая по отношению к частицам) энергия для поддержания волновых процессов в микромире, тоже отсутствует.

Рассмотрение тела всегда начинается с изучения его свойств. Сколько их - нам неизвестно, но предполагаем, что очень много. Какие они? Как физически проявляются? Как свойства связаны между собою? - знаем достаточно неопределенно. И, естественно, что только малая часть из них нам известна и более или менее изучена (таких свойств около 200, и многие из них еще не удается связать друг с другом). И потому не спрашиваем о том, существуют ли, например, масса или объем у тела. Мы уверены, что существуют, мы с ними сталкиваемся постоянно, имея дело с тяжестью или набивая о внешние тела шишки. Но вот о пульсацию шишки не набьешь, и в соответствии с такой логикой она должна отсутствовать.