Риc. 4.20. Определение запасов устойчивости по АФХ

Опытным путем установлено, что для нормальной работы система должна обладать следующими запасами устойчивости:

h = 50-80% , = 50-80% . (4.34)

Аналогичные запасы устойчивости можно определить и по логарифмическим характеристикам системы.

Здесь запас устойчивости по модулю обозначают как L и измеряют в децибеллах [дБ]. Он определяется на частоте, где фазовая частотная характеристика достигает значения - .

Запас устойчивости по фазе обозначают как , он определяется на частоте , где ,

(4.35)

Риc. 4.21. Определение запасов устойчивости

по логарифмическим характеристикам

Экспериментально установлено, что имея следующий запас устойчивости:

, (4.36)

система будет работать удовлетворительно.

Корневые оценки

Склонность системы к неустойчивости выражается в большой колебательности процессов в ней, следовательно, процесс 2 на рис.4.22 соответствует системе с меньшим запасом устойчивости.

Вид процессов в системе определяется корнями характеристического уравнения согласно выражения (4.12), причем колебательный характер придают комплексно - сопряженные корни:

Риc. 4.22. Процессы в системах с разным

запасом устойчивости

где вещественная часть ( ) определяет скорость затухания, а мнимая часть корней ( ) - частоту затухания.

Пара корней с самым широким сектором будет давать составляющую процесса с наибольшими колебаниями, поэтому в качестве оценки устойчивости используем величину:

(4.37)

Рис. 4.23. Распределение корней в системе

которая может изменяться в диапазоне [ ]. Чем меньше (то есть больше мнимая часть корня, тем ближе система к границе устойчивости. При она находится на границе устойчивости, если же , система будет абсолютно устойчива.

Таким образом, корневая оценка запаса устойчивости характеризует, насколько можно изменять корни характеристического уравнения без потери системой устойчивости.

Обычно такая оценка используется на этапе проектирования, так как ее трудно связать с параметрами реальной САУ (коэффициентом усиления, постоянными времени, коэффициентом демпфирования).

Метод D-разбиения

На практике бывает необходимо знать не только запас, который можно оценить с помощью какого - либо критерия устойчивости, но и всю область устойчивости по параметрам. Этой цели служит метод D - разбиения, позволяющий построить такую область в плоскости одного или двух параметров.

Рассмотрим сначала этот метод для одного параметра D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:

A(p) = N(p) + D M(p) = 0 . (4.38)

В (4.38) заменим p на j и получим уравнение

(4.39)

соответствующее границе устойчивости согласно критерия Михайлова (условие (4.24)). Разрешим его относительно D

(4.40)

Полученное комплексное представление параметра D позволяет изобразить его в виде вектора на плоскости Конкретное численное значение D(j ) зависит от частоты, и при изменении в диапазоне от - до + конец вектора выписывает на комплексной плоскости кривую D - разбиения, представляющую собой границу устойчивости (ее можно рассматривать также как отображение мнимой оси плоскости корней).

Эта кривая симметрична относительно вещественной оси, поэтому достаточно построить ее часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую часть получить зеркальным отображением относительно вещественной оси.

Риc. 4.24. Иллюстрация построения кривой D - разбиения

Кривая D разбивает плоскость параметра на несколько областей с различным условием устойчивости, для определения которого необходимо выбрать по одному значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при выбранном D, то она будет устойчива и при других значениях из этой области.

Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр системы (коэффициент усиления, постоянная времени, момент инерции и так далее, который может иметь только вещественные значения. Представление его комплексным выражением D(j ) носит формальный характер, а область устойчивости ограничивается отрезком вещественной оси.

Метод D - разбиения применим и в случае построения области устойчивости для двух параметров и , которые входят линейно в характеристическое уравнение

A(p, ) = 0 . (4.41)

В этом случае уравнение границы устойчивости

A(j , ) = 0 (4.42)

распадается на два независимых уравнения, соответствующих равенству нулю вещественной и мнимой части (4.42)

(4.43)

Эти два уравнения параметрически задают кривую D - разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случая одного параметра D.

Пример 4.5

Определить область устойчивости системы по коэффициенту усиления.

Рис. 4.25. Структурная схема системы

Определим передаточную функцию замкнутой системы

и запишем ее характеристическое уравнение

Здесь k - параметр, по которому строится область устойчивости, поэтому обозначим его через D. Разрешим характеристическое уравнение относительно D и сделаем замену В результате получим уравнение для кривой D - разбиения:

Вычислим значения вещественной и мнимой части D( ) при конкретных положительных значениях частоты и занесем их в таблицу.

Для построения кривой D - разбиения при отрицательных значениях частоты полученную половину D(j ) зеркально отобразим относительно оси абсцисс.

Риc. 4.26. Кривая D - разбиения для исследуемой системы

Как видим, кривая D - разбиения разделила плоскость параметра на две области. Выбираем по одному вещественному значению D в каждой из них и оцениваем устойчивость системы второго порядка, необходимым и достаточным условием устойчивости которой является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Следовательно, первая область - есть область устойчивости (-1 < k < ).