Математика как средство познания сложных систем

Существует раздел математики, называемый комбинаторикой, который позволяет рассчитывать количество возможных комбинаций по известному числу элементов. Одна из простейших формул комбинаторики позволяет определить число P_n возможных линейных перестановок заданного n количества элементов:

P_n = n! (6.1)

Знак «!» называется факториалом и означает, что нужно перемножить целые числа от 1 до n.

Например, для трёх элементов, которые мы обозначим как 1, 2, 3, количество перестановок в соответствии с формулой 6.1, равно 6, т.е.: 123, 231, 312, 132, 213, 321. Соответственно, при n =5 P_n = 120 и т.д.

Сразу следует обратить внимание на то, что количество вариантов P_n очень быстро растёт с увеличением числа элементов. В указанных примерах изменение числа элементов с 3 до 5 привело к увеличению количества вариантов перестановок с 6 до 120. Вероятно, в этом и кроется причина высокой сложности биологических, да и многих других материальных систем.

Теперь покажем, как данные математические абстракции можно связать с конкретными биологическими системами.

Пример 1. При кодировании последовательности белковых аминокислот в молекулах ДНК используются линейные выборки по три нуклеотида из четырёх возможных (А, Т, Г, Ц). Соответствующая формула комбинаторики для числа таких выборок P_n^N по N элементов из n возможных с допустимостью их повтора будет выглядеть: P_n^N = n^N, и при n=4 и N=3 даёт значение P_n^N = 64. Все эти комбинации используются в природе. Но поскольку в состав природных белков входят только 20 аминокислот, то некоторые аминокислоты кодируются двумя, тремя, а отдельные даже четырьмя разными триплетами.

Пример 2. Каждый белок состоит из строго определённой линейной последовательности аминокислот. Изменение положения хотя бы одной аминокислоты меняет свойство белковой молекулы, следовательно, и свойство организма. Поэтому можно попытаться определить количество возможных вариантов строения белковой молекулы, используя это количество как меру возможной сложности организмов, состоящих из таких молекул.

Для простоты попробуем рассчитать искусственную гипотетическую ситуацию, при которой в природе существовало бы 64 аминокислоты, каждая кодировалась бы только одним триплетом, и в каждом белке было бы ровно по 64 аминокислоты без повторов. Для такого случая подходит формула 6.1, которая даёт число вариантов (64!)=1,26886•10⁸⁹. Для сравнения напомним, что число атомов во Вселенной оценивается величиной порядка 10⁷³. Это означает, что число вариантов относительно просто устроенной белковой молекулы превышает число атомов во Вселенной в десять квадриллионов (10¹⁶) раз!

Число аминокислот в реальных белках, с учётом того, что количество повторов одной аминокислоты теоретически не ограничивается, может достигать нескольких сотен. Соответственно и количество вариантов строения реальных белков несоизмеримо больше рассмотренного искусственного примера. Отсюда становится более понятно, откуда происходит громадное разнообразие наблюдаемых на Земле живых организмов.

Здесь надо учитывать, что мы пока рассматривали примеры в виде комбинаций десятков или сотен элементов. А реальный многоклеточный организм – это десятки тысяч видов молекул и миллиарды взаимодействующих клеток.

6.3. Теория графов и её применение
в описании сложных систем

Есть ещё раздел математики, который также позволяет понять причину большой сложности систем, состоящих из взаимодействующих элементов. Это теория графов. Граф – это фигура, состоящая из точек (вершины графа), соединённых отрезками (рёбра графа). Пример на рис 6.1.

Рис.6.1. Пример не ориентированного (а) и ориентированного (б) графа

Как обычно, «привяжем» эту абстрактную фигуру к конкретным природным явлениям.

Пример 1. Точки могут означать биологические виды организмов в экосистеме. Тогда рёбра могут показывать трофические связи между видами, т.е. определять пути передачи энергии от одного вида к другому (кто кого ест). В этом случае рёбра должны иметь вид однонаправленных стрелок, поскольку энергия обычно передаётся в одном направлении. Граф с рёбрами в виде стрелок называется ориентированным.

Пример 2. Точки могут означать нервные клетки, а рёбра – нервные волокна, их соединяющие. В этом случае стрелки могут быть противоположно направленными (↔), поскольку электрические импульсы могут двигаться между двумя клетками в противоположных направлениях по разным волокнам.

Из примеров понятно, что с помощью графов можно описывать любые множества систем, взаимодействующих определённым образом. При этом теория графов позволяет рассчитать число возможных вариантов взаимодействий (число возможных графов) при заданном количестве вершин. Например, если количество вершин n = 1, то количество графов P_g = 1; при двух вершинах (n = 2, P_g= 4) мы получим следующие 4 варианта графов:

1) 2) 3) 4)

Общая формула имеет вид: P_g = 2^n(n-1). Можно заметить, что количество графов с ростом n растёт гораздо быстрее, даже чем n!, что показано в табл.6.1. В этой же таблице для сравнения приведены хорошо известные быстрорастущие функции: Р = n² и Р = n³.

Таблица 6.1

Зависимость вариантов взаимодействий от числа
взаимодействующих элементов «n»

Одним из первых учёных, кто обратил внимание на комбинаторную природу сложности материальных и особенно живых систем, был английский биолог и специалист в области кибернетики У.Р. Эшби [46]. В одной из своих статей [44] он приводит следующий пример. В ящике, разделённом на 400 ячеек (20х20), в каждую ячейку вмонтирована лампочка. Требуется рассчитать, сколько вариантов зажигания лампочек может быть в данной системе? Эшби определил искомую величину как 1010¹²⁰и отметил, что человеческий разум не в состоянии оценить масштаб таких чисел. Для того чтобы всё-таки попытаться это сделать, он предложил рассмотреть ничтожно малую долю от указанного числа. А именно, взять долю, какую составляет один атом от всей Вселенной, т.е. данное число надо разделить на 10⁷³. Для упрощения расчётов Эшби делит 1010¹²⁰на 10¹⁰⁰ и приводит результат 1010¹¹⁸, из чего делает справедливый вывод, что даже такая малая доля числа 1010¹²⁰, как один атом от миллиардов и миллиардов вселенных, остаётся величиной не подвластной оценке нашего разума.

Забавность описанной ситуации состоит ещё в том, что результат 1010¹¹⁸является ошибочным. В действительности вместо показателя степени 118 должен быть показатель 119, 99…9 , т.е. число 1010¹²⁰после

118 девяток

деления на 10¹⁰⁰ в обыденном понимании можно считать практически неизменившимся.

Далее Эшби пишет, что никакие даже самые фантастические вычислительные машины не способны обрабатывать подобные числа. Если бы удалось создать машину, в которой каждый атом фиксирует 1 число, то на один грамм такой машины приходилась бы производительность 10⁴⁷ двоичных разрядов в секунду (лучшие современные машины имеют производительность 10¹² операций в секунду). При общих размерах с нашу Землю, такая фантастическая машина, работая непрерывно с момента образования планеты (4,8 млрд. лет), успела бы перебрать не более чем 10⁷³ вариантов.

Теперь мы можем попытаться разрешить спорный для физикалистов и виталистов вопрос: «Возможно ли, опираясь на физику и химию, рассчитать с помощью математики и предсказать поведение сложных систем?».

С одной стороны, учёные не обнаруживают в живом ничего, кроме физических и химических процессов, и, казалось бы, можно надеяться со временем разработать соответствующую математическую теорию строения и функционирования живых организмов.

С другой стороны, описанная комбинаторная сложность природных систем ставит под сомнение такую возможность. По крайней мере, рассчитывать на решение данной проблемы в ближайшее время не приходится. Тем более, что все приведённые выше рассуждения касались относительно простых систем с числом элементов, не превышающих нескольких десятков или сотен. Количество же, например, нервных клеток в головном мозге составляет величину порядка 10¹¹.

Становится ясным, почему, в частности, не существует математической теории шахматной игры. При наличии такой теории ни один шахматист не выигрывал бы у вычислительной машины. Смысл игры был бы полностью утерян. Всегда выигрывал бы игрок, делающий первый ход. Напомню, что шахматы – это 64 клетки шахматной доски и 32 фигуры, итого 96 элементов.

По этой же причине не существует и теоретической химии, которая могла бы без проведения экспериментов предсказать образование всех возможных молекул в виде комбинаций примерно ста известных химических элементов.

Даже физика, обладая строгими законами механики, успешно рассчитывая траектории космических аппаратов, становится беспомощной, если надо, скажем, точно рассчитать на какое место и за какое время упадёт на пол листок бумаги.

Теперь понятно, откуда возникла потребность утверждать, что человеком и животными управляет нематериальная субстанция – душа. И тело наше превращается в физическую и химическую массу только тогда, когда душа его покидает. Человек (малограмотный) просто иначе не может объяснить сложность поведения живых систем. Точно также дикарь из амазонских джунглей, впервые увидевший телевизор, абсолютно будет уверен, что когда телевизор включают, то в него вселяется душа, а когда телевизор выключают, душа улетает. Но мы-то с Вами знаем, что душой в телевизоре и не пахнет.

7. СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД как средство
преодоления СЛОЖНОСТИ