Решение уравнений 4 степени

Рассмотрим способ решения, предложенный Феррари, одним из учеников Кардано.

Уравнение

x⁴+ax³+bx²+cx+d=0, (1)

где a,b,c,dÎC, будем называть уравнением 4-ой степени общего вида. Выполним некоторые преобразования:

x⁴+ax³+bx²+cx+d=0Ûx⁴+ax³=-bx²-cx-d. (2)

К обеим частям уравнения прибавим , получим

x⁴+ +ax³=-bx²+ -cx-d Û (x²+ )²=( -b) x²-cx-d. (3)

Введем вспомогательную переменную, для этого к обеим частям прибавим

(x²+ )y+ , получим

(x²+ )²+(x²+ )y+ =( -b) x²-cx-d+(x²+ )y+ Û

Û(x²+ + )²=( -b+y) x²+( -c)x+( -d). (4)

Теперь подбираем y так, чтобы в левой части равенства получить полный квадрат, для этого решим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными

. (5)

Решив эту систему уравнений, найдем значение y. При решении системы получается уравнение третьей степени, которое можно решать по формулам Кардано.

Замечание. Так как нам достаточно найти одно значение y, то иногда удобнее решать уравнение другими методами, в частности подбором.

Пусть y₀ – одно из найденных значений переменной y, тогда уравнение (4) примет вид

(x²+ + )²=(ax+b)², а это равносильно совокупности двух квадратных уравнений

x²+ + =ax+b или

x²+ + =-ax-b. (6)

Решив уравнения (6), получим четыре корня уравнения (1).

Пример. Решить уравнение x⁴+2x³+5x²+6x+9=0 Û x⁴+2x³=-5x²-6x-9Û

x⁴+2x³+x²=-5x²-6x-9+ x²Û( x²+x)²=-4x²-6x-9. Введем вспомогательную переменную, получим

( x²+x)²+( x²+x)y + =-4x²-6x-9+( x²+x)y + Û

( x²+x+ )²=(y-4) x²-(y-6)x+( -9).

Составим и решим систему уравнений

B²-4AC=(y-6)²-4(y-4) ( -9)=y²-12y+36-y³+36y+4y²-144=0Û

-y³+5y²+24y-108=0 Û (y-6)(-y²-3y+18)=0, y₁=6, получим

( x²+x+3)²=2 x² Û x²+x+3= х Ú x²+x+3=- хÛ

x²+(1- )х+3=0 Ú x²+ (1+ )х+3=0,

x_1,2= ,

x_3,4= .

Замечание. Недостаток формулы Кардано состоит в том, что она часто представляет рациональные корни в иррациональном виде. Например, легко видеть, что число 2 является корнем уравнения x³-x-6=0, а формула Кардано дает y= . Других действительных корней данное уравнение не имеет, так как его дискриминант положителен, а это выражение дает только приближенное значение корня. Из-за этого недостатка рекомендуется рациональные корни кубического уравнения с целыми коэффициентами искать не по формулам Кардано, а другими способами, о которых будем говорить позднее.