Решение уравнений 3 степени

Кубическое уравнение имеет вид

a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃=0, где a₀,a₁,a₂,a₃ÎC, причем можем считать, что a₀¹0.

Если a₀¹1, то, разделив обе части уравнения на a₀, получим уравнений

x³+ax²+bx+c=0, где a,b,c ÎC;

сделаем подстановку x=y- , получим

(y- )³+(y- )²+(y- )+c=0 Û

y³-3y² +3y - +ay²-2y + +by- +c=0Û

Ûy³-ay²+y - +ay²-2y + +by- +c=0Û y³+(b- )y+( - +c)=0.

Обозначим b- =p, - +c=q получим «неполное» кубическое уравнение

y³+py+q=0. (1)

Замечание. подстановка x=y- позволяет избавиться от слагаемого ax². Аналогично с помощью подстановки x=y- можно избавиться от слагаемого a_n_-1xⁿ^-1, упростив тем самым уравнение

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0

Чтобы решить уравнение (1), введем две новых вспомогательных переменных y=u+v. Подставив это выражение в уравнение (1), получим

(u+v)³+p(u+v)+q=0 Û u³+3u²v+3uv²+v³+pu+pv+q=0Û

Û (u³+ v³+q)+ 3uv(u+v)+p(u+v) =0Û

Û (u³+ v³+q)+ (3uv+p)(u+v) =0 (2)

Воспользовавшись тем, что вместо одной переменной мы ввели две, потребуем, чтобы выполнялось условие 3uv+p=0, тогда из уравнения (2) получаем u³+v³+q=0. Таким образом, приходим к системе двух уравнений с двумя неизвестными:

. (3)

Отсюда следует

. (4)

Теперь можно сделать вывод, что u³ и v³, согласно теореме Виета, являются корнями квадратного уравнения

z²+qz- =0. (5)

Решив это уравнение, получим

z_1.2= ,

u³ = ,

v³= ,

u_1-3= ,

v_1-3= .

Получили три значения переменной u и три значения переменной v, поэтому различных сумм u+ v получится 9 и только 3 из них являются корнями уравнения (1). «Посторонние корни» появились в результате перехода от системы уравнений (3) к системе уравнений (4). Чтобы выбрать пары значений переменных, воспользуемся соотношением 3uv+p=0. Поэтому выберем одно из значений переменной u₁, а остальные найдем по формулам:

u₂=u₁e, u₃=u₁e²,

где e=- +i - первообразный корень 3 степени из 1.