Корни n-ой степени из единицы

Так как 1ÎС и 1¹0, то по только что доказанному существует ровно n значений корня n-ой степени из 1. Поскольку 1=1+0i=cos0+isin0, тогда , где k=0, 1, 2, …, n-1

Обозначим все множество корней n-ой степени из 1 через E_n={e₀,e₁,e₂,…,e_n_-1}, где e_m=cos +isin .

Теорема. Множество корней n-ой степени из 1 образует группу относительно операции умножения.

Доказательство

Так как E_nÌС и 0Ï E_n, то E_n является подмножеством мультипликативной группы поля С, и можно воспользоваться теоремой о подгруппе. Проверим выполнимость двух условий:

1) "e_k,e_mÎE_n(e_ke_mÎE_n);

2) "e_kÎE_n(e_k^-1ÎE_n).

Пусть e_k,e_mÎE_nÛ e_k=cos +isin , e_m=cos +isin , где 0£k£n-1, 0£m£n-1, тогда

e_ke_m=(cos +isin )(cos +isin )=cos( + )+isin( + )=cos + isin . По теореме о делении с остатком в кольце целых чисел, мы можем записать k+m=nq+r, где 0£r£n-1, тогда

e_ke_m= cos + isin =cos +isin =

=cos(2qπ+ )+isin(2qπ+ )= cos +isin ÎE_n, так как 0£r£n-1. Первое условие теоремы о подгруппе выполняется.

Единица 1=e₀=cos0+isin0ÎE_n. Пусть e_kÎE_n Û e_k=cos +isin , где 0<k£n-1Þ 1-n£-k<0Þ 1£n-k<nÞ 0<n-k£n-1Þe_n_-_kÎE_n. Самостоятельно доказать, что e_n_-_k=e_k^-1. Оба условия теоремы о подгруппе выполнены, следовательно, E_n – подгруппа мультипликативной группы комплексных чисел, и теорема доказана.

Теорема. Все корни n-ой степени из произвольного комплексного числа можно получить, умножив один из них на все корни n-ой степени из 1.

Доказательство.

Пусть aÎС, Î{b₀,b₁,…,b_n_-1}, =aÙ"k ( =a), следовательно,

, а это означает, что =e - корень n-ой степени из единицы, тогда b_k=b₀e. Так как k было взято произвольно, то полученный результат справедлив для любого b_k. Обратно, если b₀– корень n-ой степени из a, e- корень n-ой степени из единицы и b=b₀e, тогда

bⁿ =(b₀e)ⁿ=b₀ⁿeⁿ=a1=a.

Замечание. Эта теорема показывает, что корни n-ой степени из единицы при извлечении корня играют ту же роль, что знаки ± при извлечении квадратного корня.

Примеры

1) =соs +isin , где k=0, 1, 2

e₀=cos0+isin0=1,

e₁=cos +isin =cos(π- )+isin(π- )=-cos +isin =- +i ,

e₂=cos +isin =cos(π+ )+isin(π+ )=-cos -isin =- -i ;

2) =соs +isin = соs +isin , где k=0, 1, 2, 3

e₀=cos0+isin0=1,

e₁= соs +isin =0+i=i,

e₂= соs +isin =cos π+isin π=-1,

e₃= соs +isin =0-i=-i.

Геометрическое представление корней n-ой степени из единицы

Мы уже рассматривали геометрический смысл корней n-ой степени из произвольного комплексного числа. На основании всех известных нам результатов можно сделать вывод, что все корни n-ой степени из 1 лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат и делят эту окружность на n равных частей, начиная от оси ОХ.

Первообразные корни n-ой степени из единицы

Пусть nÎN и e некоторый корень n-ой степени из единицы. Будем называть этот корень первообразным корнем n-ой степени из единицы, если eⁿ=1, а e^k¹1 "k<n.

Замечание. Очевидно, что 1 входит в число корней любой степени из единицы, но она не является первообразным корнем никакой степени n³2 из единицы.

Примеры

1) n = 2 , √1=±1

-1 – первообразный корень 2 степени из 1, так как (-1)¹¹1, (-1)²=1;

2) n=3, Î{1, - +i , - -i }

e₁=- +i - первообразный корень 3 степени из единицы, действительно, e₁¹¹1, e₁²=- -i ¹1, e₁³=1.

Аналогично показать самостоятельно, что e₂=- -i - первообразный корень 3 степени из единицы.

3) n=4, Î{1, -1, i, -i}

Очевидно, что -1 не является первообразным корнем 4 степени из единицы, так как (-1)²=1

i¹=i ; i²=-1; i³=-i; i⁴=1; (-i)¹=-i; (-i)²=-1; (-i)³=i; (-i)⁴=1, следовательно, ± i - первообразные корни 4 степени из единицы.

Теорема. Существуют первообразные корни любой степени n³2 из единицы.

Доказательство. Самостоятельно.

Указание! Методом от противного можно доказать, что e₁ будет первообразным корнем любой степени n³2 из единицы.

Теорема. Пусть e - первообразный корень n-ой степени из единицы, тогда все элементы множества Е={e⁰, e¹, e²,…, eⁿ^-1} различны.

Доказательство

Предположим противное, пусть e^k=e^m, где n>k>m³0. Разделив обе части равенства на e^m, получим e^k^-^m=1, где n>k-m>0, что противоречит определению первообразного корня. Теорема доказана.

Следствие 1. Множество корней n-ой степени из единицы исчерпывается числами множества Е.

Доказательство. Так как все элементы множества Е различны и их число совпадает с числом корней n-ой степени из единицы, то достаточно показать, что любой элемент множества Е будет корнем n-ой степени из единицы. Пусть e^kÎЕ, тогда (e^k)ⁿ=(eⁿ)^k=1^k=1, что и требовалось доказать.

Следствие 2. Все корни n-ой степени из произвольного комплексного числа могут быть получены умножением одного из них на все степени первообразного корня той же степени из единицы.

Доказательство самостоятельно.

Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 1387;