Теплообмен при ламинарном течении в каналах

В большинстве современных теплообменных устройств теплоноситель движется по цилиндрическим каналам. Процессы гидродинамики и теплообмена на входе в канал аналогичны процессам, происходящим на пластине в неограниченном потоке, но с удалением от входа они приобретают новые качества. При равномерном распределении скорости во входном участке на стенках канала под воздействием сил вязкости начинают формироваться гидродинамические пограничные слои, толщина которых с удалением от входного сечения увеличивается до тех пор, пока пограничные слои не сомкнуться между собой. После прохождения теплоносителем сечения, в котором пограничные слои смыкаются, в канале устанавливается постоянное распределение скоростей, или так называемый параболический профиль скорости, который не зависит от x и в случае изотермического течения полностью определяется геометрической формой поперечного сечения канала. Такое течение называется гидродинамически установившимся или развитым.

Рис. 3.1.Развитие ламинарного теплового и гидродинамического

пограничного слоя в канале

В практических расчетах распределения скоростей и гидравлического сопротивления в случае ламинарного изотермического течения несжимаемой жидкости в трубах можно использовать уравнение движения. В таких условиях поток жидкости в трубе прямолинеен и симметричен относительно ее оси и уравнение движения, записанное в цилиндрических координатах, преобразуется в следующее:

. (3.1)

Граничные условия: при r = 0 du/dr = 0,

при r = r₀ u=0. (3.2)

После двойного интегрирования (3.1) получаем параболический закон распределения скоростей:

, (3.3)

где r и r₀ - внутренний и текущий радиусы трубы, l – длина трубы.

Локальная скорость u связана со средней скоростью соотношением:

. (3.4)

Уравнение (3.4) показывает, что при ламинарном установившемся течении скорость потока на оси трубы в 2 раза больше средней скорости.

Для расчета падения давления на единицу длины трубы в случае изотермического течения можно использовать общеизвестную в гидравлике формулу Дарси - Вейсбаха

. (3.5)

Пользуясь уравнениями (3.4) и (3.5), определяем коэффициент гидравлического сопротивления (где ):

. (3.6)

Для каналов некруглого сечения зависимость x(Re) имеет тот же характер, но численное значение множителя пропорциональности меняется [1]. Значения x(Re) в прямоугольном канале (b- ширина, h- полувысота):

В качестве определяющего размера здесь принят эквивалентный диаметр.

На практике нередко используются теплообменные устройства, в которых из-за небольшой длины каналов вход теплоносителя совпадает с началом теплообменного участка. В таких условиях течение не успевает стабилизироваться, т.е. процесс протекает при одновременном развитии скоростных и температурных полей. Иначе говоря, процессы развития происходят в начальном гидродинамическом участке. Ввиду действия сил вязкости на стенках канала формируются гидродинамические пограничные слои, за пределами которых в трубе существует потенциальный поток, свободный от тормозящего действия сил вязкости. В пределах потенциального потока скорость в заданном сечении не претерпевает изменений и остается равномерной.

Уравнения распределения скорости и падения давления в начальном участке круглой трубы при равномерном распределении скорости на входе, полученные С.М. Таргом [1] приближенным методом, имеют следующий вид:

(3.7)

(3.8)

где I₀ – функция Бесселя нулевого порядка, b_n (n=1,2,3,…) – последовательные корни функции Бесселя второго порядка I₂, .

Значения b_n равны [1]:

Для определения длины начального гидродинамического участка L, на котором заканчивается формирование профиля скорости, в случае изотермического течения в трубе в работе [1] рекомендуется зависимость:

. (3.9)

Процесс стабилизации профиля температуры происходит аналогичным образом и длина теплового начального участка стабилизации потока может быть приближенно оценена по зависимости:

. (3.9а)

При Pr=1 выполняется аналогия Рейнольдса и толщины теплового и гидродинамического слоя равны между собой.

Течение в плоском канале аналогично течению в круглой трубе. Профиль скорости на участке стабилизации определяется следующей зависимостью:

, (3.10)

где h – полуширина канала.

Локальная скорость связана со средней скоростью соотношением:

. (3.11)

Таким образом, скорость в центре плоского канала больше средней скорости в 1.5 раза (рис. 3.2).

Коэффициент сопротивления для плоского канала (b/h 100) составляет , где , d_э=4h.

Течение в начальном участке плоского канала можно рассматривать как течение между параллельными пластинами. Г. Шлихтинг [9], используя точный метод решения, провел расчеты по распределению скоростей в начальном участке плоского канала. Полученные этим методом данные для всего начального участка представлены на рис. 3.2. При X=2xh Re 0,16 профиль скорости приобретает параболический характер, соответствующий установившемуся ламинарному течению.

Рис. 3.2.Распределение скоростей ламинарного течения

в начальном участке плоского канала

Профили скорости и падение давления в начальном участке плоского канала можно определить с помощью уравнений, полученных С.М. Таргом приближенным методом:

, (3.12)

, (3.13)

где Y=2y/h, X= x/Red_э, и - последовательные корни уравнения tg(x)=X.

Падение давления для всей длины начального участка канала можно определить по зависимости

, (3.14)

где k_p - параметр, учитывающий дополнительные потери давления в начальном участке, - коэффициент сопротивления трения полностью стабилизированного течения.

Параметр k_p включает в себя дополнительное падение давления, затрачиваемое на процесс формирования профиля скорости стабилизированного течения. Когда процесс стабилизации в канале заканчивается, величина k_p остается постоянной и показывает, на сколько увеличиваются потери давления в начальном участке по сравнению с потерями в случае стабилизированного течения. Для начального участка в плоском канале при b/h>100 в [1] рекомендуется параметр k_p =0,687.

Поскольку перепад давления на начальном участке можно представить уравнением , (3.15)

то, сравнивая выражения (3.14) и (3.15), получаем зависимость для определения длины начального участка:

,

. (3.16)

Длина начального участка, определенная различными авторами, различна, данный вопрос еще недостаточно изучен. Пока мало теоретических и экспериментальных результатов по определению длины начального участка с учетом влияния изменения физических свойств жидкости. В литературе [1], для определения длины начального участка плоского канала предлагается зависимость, которая следует из уравнения (3.16):

. (3.17)