Пример расчетного определения погрешности прибора

Рассмотрим пример расчетного определения погрешности измерительного прибора по известным погрешностям входящих в него измерительных преобразователей. Пусть схема прибора, для которого необходимо определить погрешность, состоит из потенциометрического датчика Д, усилителя Ус и указателя Ук. Потенциометрический датчик имеет аддитивную погрешность, нормированную предельным значением γ_дm=0,15%. Датчик питается через стабилизатор Ст от общего с усилителем Ус блока питания БП. Операционный усилитель Ус предназначен для обеспечения линейной характеристики всего прибора и имеет входное сопротивление, намного большее сопротивления датчика. Выходным указателем Ук служит магнитоэлектрический прибор класса 0,5.

Рис. 2.8. Функциональная схема прибора

Прежде всего, как указывалось выше, все составляющие погрешности необходимо подразделить на аддитивные и мультипликативные, приписать каждой из них соответствующий закон распределения и найти СКО. Все расчеты следует вести в относительных приведенных значениях и сохранять при промежуточных округлениях один лишний недостоверный десятичный знак в их значениях. Пусть аддитивная погрешность прибора обусловлена аддитивными погрешностями датчика Д и указателя Ук, а мультипликативная – колебаниями напряжений питания датчика и усилителя и зависимостью от температуры чувствительностей усилителя и указателя.

Закон распределения погрешности потенциометрического датчика можно принять равномерным, а так как чаще всего датчики нормируются без существенного запаса погрешности на старение, то γ_дт=0,15% можно считать половиной ширины распределения. Отсюда СКО

Погрешность электроизмерительных приборов по стандарту указывается с запасом на старение. Поэтому предельную погрешность указателя можно оценить как γ_ук.т=0,8 γ_к, где γ_к – основная погрешность, соответствующая классу точности. Отсюда γ_ук.m=0,8×05=0,40%. Закон распределения погрешностей стрелочных электромеханических приборов близок к трапецеидальному с контрэксцессом χ=0,7 и энтропийным коэффициентом k_Э=1,9. Доверительное значение погрешности с P_д=0,9 для такого распределения равно приблизительно γ_0,9=0,75γ_т. Поэтому γ_{ук 0,9}=0,75×0,40=0,30%.

Отсюда σ_ук= γ_{ук 0,9} / 1,6=0,30/1,6=0,188%.

Аддитивная погрешность прибора будет образована суммой двух рассмотренных составляющих. Поэтому СКО погрешности нуля прибора (аддитивная составляющая) составит

Равномерное распределение погрешности датчика имеет энтропийный коэффициент k_дэ=1,73, а для трапецеидального распределения погрешности указателя k_укэ=1,9. Для определения энтропийного коэффициента суммы этих погрешностей необходимо обратиться к рис. 2.6, б и построить на нем кривую, выходящую при p=0 из точки k_э=1,73, и идущую выше кривой 1 и при подходе к p=1 сливающуюся с кривой 6. Относительный вес дисперсии трапецеидального распределения в суммарной дисперсии составляет p=σ_ук²/σ_н²=0,188²/0,207²=0,82. При этом значении p нанесенная кривая проходит через значение k_нэ=2,00. Отсюда энтропийное значение погрешности нуля прибора составляет γ_н=k_нэ∙σ_н=2,00×0,207=0,41%. (При этом необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что хотя кривая на рис. 2.6 проводится на глаз, т. е. весьма произвольно, ошибка определения k_э получается ничтожной. Так, если в нашем примере вместо k_нэ=2,00 принять k_нэ=1,98, после получения округления результата мы все равно получили бы γ_н=0,41%).

Переходя к суммированию мультипликативных составляющих погрешности, примем следующие исходные данные. Пусть коэффициент влияния температуры на чувствительность указателя равен Ψ_{Θ ук}= - 0,2% / 10 K и усилителя Ψ_{Θ ус}= +0,1% / 10 K. Если усилитель располагается в корпусе указателя, то оба они находятся всегда при одной и той же температуре и, следовательно, их температурные погрешности достаточно жестко коррелированы между собой и должны суммироваться не геометрически, а алгебраически. Отсюда результирующий коэффициент влияния температуры равен Ψ_Θ = - 0,2+0,1= - 0,1% / 10 K. Пусть прибор предназначен для работы в цеховых при температуре от +5 до +35ºC. Если принять за нормальные условия работы прибора температуры 20ºC, тогда вариации температуры ∆_Θ=±15ºC. допустим все значения температур равновероятны, тогда температурная составляющая мультипликативной погрешности имеет равномерный ЗР с γ_Θт= Ψ_Θ× ∆_Θ =0,1%/10×15К=0,15% и σ_Θ= γ_Θт / =0,15/ =0,087%.

Пусть колебания напряжения в сети U_c, от которой питается рассматриваемый прибор, находятся в пределах ±10% и имеют треугольный закон распределения вероятности. Датчик Д питается через стабилизатор с коэффициентом стабилизации k_СТ=25. Тогда колебания напряжения питания датчика, а следовательно, и мультипликативная погрешность его выходного напряжения имеют также треугольное распределение в пределах γ_дт= 10/25=0,40% с СКО σ_Uд= γ_Uт / =0,40/ =0,163%.

Усилитель Ус питается нестабилизированным напряжением, но благодаря глубокой отрицательной обратной связи коэффициент влияния питающего напряжения на коэффициент усиления снижен до значения Ψ_Uус= 0,3 / [10(Δ_U/U)]=

=0,3/[10×100]=0,03%. Поэтому мультипликативная погрешность прибора, вызванная случайными колебаниями напряжения питания, будет распределена также по треугольному закону в пределах γ_{ус т}=Ψ_Uc∙ΔU_c/U_c=0,03∙10=±0,3%,

с СКО σ_{ус т}= γ_{ус т} / =0,3 / =0,122%.

Так как обе погрешности от колебания напряжения вызываются одной и той же причиной, то они коррелированы между собой и складываются алгебраически, а не геометрически, хотя каждая из них случайна. Поэтому

γ_Uт= γ_дт+γ_ус.т=0,4+0,3=0,70% и σ_U= σ_Uд + σ_Uус =0,163+0,122=0,285%.

Суммарные погрешности от колебаний температуры и колебания напряжения независимы и поэтому складываются геометрически, т. е. СКО мультипликативной составляющей

Распределение суммарной мультипликативной составляющей есть композиция равномерного распределения погрешности от колебаний температуры с σ_Θ=0,087% и k_ΘЭ=1,73 и треугольного распределения погрешности от колебаний напряжения питания с σ_U=0,285 % и k_UЭ=2,02. Относительный вес дисперсии равномерно распределенной составляющей в суммарной дисперсии p=σ_Θ²/σ_м²=0,087²/0,298²=0,08. Поэтому энтропийный коэффициент этой композиции по кривым рис. 2.6, б равен k_мэ=2,04. И энтропийное значение мультипликативной составляющей погрешности равно γ_м= k_мэ∙σ_м=2,04×0,298=0,61%.

Результирующая погрешность в конце шкалы прибора складывается из аддитивной и мультипликативной погрешностей по правилам суммирования независимых погрешностей:

Энтропийные коэффициенты суммируемых погрешностей k_нэ=2,00 и k_мэ=2,04 достаточно велики, а их СКО близки между собой (σ_н=0,207 % и σ_м=0,298 %), поэтому результирующее распределение достаточно близко к нормальному с k_кэ=2,066. Отсюда энтропийное значение погрешности в конце шкалы прибора равно γ_к= k_кэ∙σ_к=2,066×0,36=0,74%.

Таким образом, при испытаниях такого прибора следует ожидать изменения погрешности от γ_н=0,41% в начале шкалы прибора до γ_к=0,74% в конце шкалы. Однако при нормировании погрешности такого прибора по стандарту необходимо иметь запас на старение не менее 25% фактической погрешности, а нормируемые значения погрешности в начале и в конце шкалы должны быть выбраны из ряда предпочтительных чисел, предусмотренных ГОСТ 8.401 – 80, т. е. должны быть указаны γ_н=0,41/0,8@0,5% и γ_к=0,74/0,8@1%, т. е. класс прибора должен быть указан как 1,0/0,5.

Несмотря на наличие рассмотренного выше достаточно точного метода суммирования погрешностей. На практике очень часто встречаются потребность в использовании быстрых, приближенных методов определения суммарной погрешности. Когда недостаток времени или исходных данных не позволяет использовать рассмотренный выше алгоритм более точного метода суммирования погрешностей. В этих случаях пренебрегают частью тех правил суммирования погрешностей, которые были изложены выше, и применяют заведомо не строгие, упрощенные методы определения суммарной погрешности. В этой связи, необходимо четко представлять, к каким ошибкам приводит невыполнение установленных правил суммирования составляющих погрешностей.

Для подтверждения этого рассмотрим упрощенные варианты расчета, используя данные приведенного выше примера суммирования составляющих погрешностей. Одним из таких упрощений может быть использование приближенного соотношения γ_0,9=1,6 σ для большого класса высокоэнтропийных распределений. В этом случае каждой из составляющих погрешностей также должен быть приписан определенный закон ее распределения и определены значения σ_i, путем суммирования которых находятся значения σ_н, σ_м и σ_к. Однако далее композиции и их энтропийные коэффициенты не определяются, а γ_н и γ_к находятся как γ_0,9=1,6 σ. В рассматриваемом примере это приводит к результатам

γ_0,9н=1,6 σ_н=1,6×0,207=0,33%; γ_0,9к=1,6 σ_к=1,6×0,36=0,58%.

Если результирующее распределение близко к нормальному, то подобным же образом может быть определена погрешность не только с P_д=0,9 , но и с P_д=0,95 согласно соотношениям:

γ_0,95н=1,96 σ_н=1,96×0,207=0,4%; γ_0,95к=1,96 σ_к=1,96×0,36=0,7%.

При значении 25%-го запаса на старение и округлении нормируемых значений γ_н и γ_к в соответствии с ГОСТ 8.401 – 80 и тот другой путь в нашем примере приведут к одним и тем же нормируемым значениям 1,0 и 0,5, т. е. класс прибора будет 1,0/0,5.

Наиболее трудоемкими при подобных расчетах являются назначение законов распределения составляющих погрешностей и расчет σ_i. При крайнем дефиците времени или ограниченности исходных данных можно в ряде случаев инженерных расчетов считать для всех составляющих соотношение между максимальным значением погрешности и СКО постоянной величиной и вычислять γ_Σ по формуле

В рассматриваемом примере при значении погрешности измерительных преобразователей, входящих в прибор γ_дm=0,15%, γ_{ук m}=0,4 %, γ_Θm=0,15% и γ_Um=0,7 % можно определить значения результирующей погрешности в начале и в конце прибора следующим образом

т.е. погрешность прибора с 25%-ным запасом на старение чуть-чуть бы не уложилась в нормируемые значения 1,0 и 0,5 и прибор надо было бы отнести к классу 1,5/1,0. Однако неточность такого приближенного расчета, как видно из приведенных результатов, не столь велика, и может быть широко использована в инженерной практике для предварительной оценки.

Что же касается пренебрежения учетом корреляционных связей и использования арифметического суммирования всех составляющих, то это недопустимо во всех случаях, так как может привести к тому, что будут складываться те погрешности, которые в действительности вычитаются друг из друга, и результат будет существенно завышен. Так, в нашем примере сумма всех составляющих равна 0,15+0,5+0,45+0,7=1,8% и прибор будет ошибочно отнесен к классу 2,5.

[1] Под контрэксцессом понимается величина, оценивающая степень центрированности случайной величины.