Суммирование доверительных значений погрешности

Преимущество доверительного значения погрешностей состоит в том, что оно в отличие от среднего квадратического и энтропийного существует для любых законов распределения.

Основной недостаток доверительного значения погрешности состоит в невозможности его расчетного определения для суммы нескольких погрешностей по известным значениям составляющих.

Однако из этого правила есть одно счастливое исключение. Оказывается, что для широкого класса симметричных высокоэнтропийных распределений (k_Э>1,7): равномерного, треугольного, трапецеидальных, нормального, экспоненциальных (с α≥2/3) и двухмодальных с небольшой глубиной антимодальности (c=a/σ<1,5) – в районе 0,05-й и 0,95-й квантилей (рис. 2.7) интегральные кривые пересекаются между собой в очень узком интервале значений x/σ=1,6±0,05. Поэтому с погрешностью 0,05 σ можно считать, что 0,05-я и

0,95-я квантили для любых из этих распределений могут быть определены как

х_0,05 = m - 1,6σ и х_0,95 = m + 1,6σ,

где m – координата центра распределения. Отсюда значение погрешности, определенное как Δ_0,9=1,6σ, для любых из этих распределений является погрешностью с 90%-ной доверительной вероятностью.

Так как при суммировании погрешностей любого сочетания распределений этого класса результирующее распределение также будет принадлежать этому классу, то и для него справедливо соотношение Δ_0,9Σ=1,6σ_Σ.

Это обстоятельство открывает возможность для очень простого расчетного метода суммирования погрешностей. Так, если заданы значения суммируемых составляющих Δ_0,9i, то

и Δ_0,9Σ =1,6σ_Σ (2.53)

или просто

(2.54)

Исходя из изложенного предпочтительным значением доверительной вероятности при нормировании случайных погрешностей является P_д=0,9, тем более, что оценка Δ_0,9 определяется с гораздо большей точностью, чем, например, Δ_0,97 или Δ_0,99.

Используя доверительные границы ± Δ_д погрешности, необходимо иметь в виду следующее обстоятельство. Эти границы располагаются симметрично относительно нуля лишь при отсутствии у прибора или преобразователя систематической составляющей погрешности m. Если m≠0, то границы погрешности оказываются несимметричными. Так, например, если ±γ_д = ± 0,4%, а m=+0,1%, то граница оказывается равной –0,4+0,1=–0,3%, а другая +0,4+0,1= +0,5%. Пользоваться при дальнейших расчетах такими несимметричными границами погрешностей крайне неудобно. Поэтому на практике вместо несимметричных границ всегда указывают симметричные границы, равные по модулю большей

из несимметричных, т. е. вместо "погрешность находится в пределах от –0,3 до +0,5%" указывают "погрешность находится в пределах ± 0,5%". Вероятность выхода погрешности за такие симметричные границы, естественно, в два раза меньше, так как происходит практически только с одной стороны, а не с обеих. В результате, если ±γ_д = ± 0,4% была определена с P_д=0,9, то ±γ_д = ± 0,5% есть погрешность с доверительной вероятностью P_д=0,95. Таким образом, при m≠0, а точнее, при m>0,5σ

Δ_0,95=±(|m|+ Δ_0,9) =±(|m|+1,6σ),

т. е. результирующая погрешность Δ_0,95 очень просто определяется через m и оценку Δ_0,9 случайной составляющей.

В тех случаях, когда можно с уверенностью предполагать достаточную близость закона распределения погрешностей к нормальному распределению, для определения симметричных границ доверительной погрешности с доверительной вероятностью P_д=0,95 (при m=0) можно использовать теоретическое соотношение для нормального распределения Δ_0,95=1,96 σ.