Общее уравнение плоскости
1.Напомним, что вектор называется параллельным плоскости , если .
Лемма. Пусть в аффинной системе координат задана плоскость уравнением
, )
и вектор . Для того чтобы вектор был параллелен плоскости , необходимо и достаточно, чтобы
(1)
От некоторой точки плоскости отложим вектор и обозначим через координаты точки . Тогда
(2)
Так как , то (3).
Пусть вектор параллелен плоскости . Тогда точка лежит в этой плоскости, поэтому
(4).
Из равенств (3) и (4) следует, что
(5)
или учитывая равенства (2), получим равенство (1).
Обратно, пусть выполняется равенство (1). Подставив сюда значения из равенства (2), получим равенство (5). Сложив равенства (3) и (5) , приходим к равенству (4). Таким образом, , то есть вектор параллелен плоскости .
2.Выясним какие имеются особенности в расположении плоскости относительно системы координат , если равны нулю некоторые из чисел в общем уравнении плоскости
(6).
Возможны следующие случаи:
1) . . В этом случае плоскость проходит через начало координат, так как координаты точки удовлетворяют уравнению (6). Обратно, если начало координат принадлежит плоскости , то
2) . По лемме о параллельности вектора и плоскости вектор параллелен плоскости , поэтому плоскость параллельна оси , если , и проходит через эту ось, если
3) . В этом случае вектор параллелен плоскости , поэтому плоскость параллельна оси , если , и проходит через эту ось, если
4) . В этом случае вектор параллелен плоскости , поэтому плоскость параллельна оси , если , и проходит через эту ось, если
5) . По лемме о параллельности вектора и плоскости векторы и параллельны плоскости , поэтому плоскость параллельна координатной плоскости , если , и совпадает с этой плоскостью, если . Если , то уравнение плоскости имеет вид: , где . Уравнение плоскости : .
6) . Аналогично предыдущему плоскость параллельна координатной плоскости , если , и совпадает с этой плоскостью, если . Если , то уравнение плоскости имеет вид: , где . Уравнение плоскости : .
7) . Аналогично предыдущим двум случаям плоскость параллельна координатной плоскости , если , и совпадает с этой плоскостью, если . Если , то уравнение плоскости , где . Уравнение плоскости : .
§ 10. Геометрический смысл знака трехчлена
Пусть в пространстве задана аффинная система координат . Рассмотрим многочлен первой степени
.
Тогда фигура есть плоскость .
Плоскость разделяет множество не принадлежащих ей точек пространства на две части, каждая из которых вместе с плоскостью образует полупространство, ограниченное этой плоскостью.
| Пусть Так как , то вектор не параллелен плоскости и и , следовательно, точка принадлежит только одному из указанных полупространств. |
Через точку проведем прямую параллельно и обозначим через точку пересечения этой прямой с плоскостью . Так как векторы и коллинеарны , то по теореме о коллинеарных векторах существует такое число , что , или в координатах:
, , (1)
Направленные отрезки и одинаково направлены (точки и - в одном полупространстве, ограниченном плоскостью ) тогда и только тогда, когда . Эти отрезки противоположно направленны (точки и - в разных полупространствах, ограниченном плоскостью ) тогда и только тогда, когда .
Рассмотрим многочлен и подставим вместо их значения из равенств (1):
так как .
Так как , то знак совпадает со знаком . Следовательно, где - полупространство, ограниченное плоскостью и содержащее точку .
.
Таким образом, получаем:
=
= .
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 196;