Отделение кратных множителей

Пусть многочлен f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ – задан над полем Р нулевой характеристики. Многочлен f’(x)= na_nx^n-1+ (n-1)a_n-1x^n-2+…+2a₂x+a₁ будем называть первой производной многочлена f(x). Производная многочлена f’(x) называется второй производной многочлена f(x). Легко показать, что данное определение приводит к тому же результату, что и нахождение производной функции f(x) по правилам дифференцирования.

Теорема 14. k-кратный неприводимый множитель многочлена f(x) является неприводимым множителем его производной кратности k-1.

Доказательство. Пусть р(х) - k-кратный неприводимый множитель многочлена f(x), то есть р^k(х)çf(x), а р^k+1(х) не делит f(x). По определению делимости многочленов можем записать f(x)= р^k(х) g(x) и (р(х), g(x))=1. Найдем производную по правилам дифференцирования:

f’(x)= (р^k(х) g(x))’=(р^k(х)))’g(x)+ р^k(х)(g(x))’=kр^k-1(х)р’(х)g(x)+ р^k(х)g’(x)=

=р^k-1(х)(kр’(х)g(x)+ р(х)g’(x)). Так как deg p(x)>deg p’(x), то p(x) не делит p’(x), следовательно, по теореме 10 (p(x), p’(x))=1 и по условию (р(х), g(x))=1, тогда по теореме 8 имеем (p(x),g(x)p’(x))=1. Таким образом, p(x) делит второе слагаемое и не делит первое, следовательно, не делит сумму, но тогда, по определению делимости многочленов, р^k-1(х) çf’(x), а р^k(х) не делит f’(x), что и требовалось доказать.

Замечание. Если р(х) неприводимый множитель многочлена f(x) кратности 1, то р(х) не является делителем его производной. Из теорем 12, 13, 14 получаем, что если f(x)= p₁^k1(x)p₂^k2(x)… p_s^ks(x), то f’(x)=p₁^k1-1(x)p₂^k2-1(x)… p_s^ks-1(x)g(x), причем ни одно p_i(x) не делит многочлен g(x), тогда

(f(x),f’(x))=p₁^k1-1(x)p₂^k2-1(x)… p_s^ks-1(x).

Отсюда получаем алгоритм отделения k-кратных неприводимых множителей многочлена f(x):

1) найти f’(x);

2) найти (f(x),f’(x))=d(x);

3) построить вспомогательный многочлен v(x)= ;

4) многочлен v(x), если возможно, разложить на произведение неприводимых множителей;

5) определить кратность каждого из полученных множителей в разложении f(x).

Пример. Разложить многочлен f(x)=x⁶-6x⁴-4x³+9x²+12x+4 на неприводимые множители над полем рациональных чисел.

Решаем по предложенному алгоритму:

f’(x)=6x⁵-24x³-12x²+18x+12.

НОД найдем по алгоритму Евклида.

6x⁵-24x³-12x²+18x+12

x⁶-6x⁴-4x³+9x²+12x+4 x⁵-4x³-2x²+3x+2

x⁶-4x⁴-2x³+3x²+2x x

-2x⁴-2x³+6x²+10x+4

x⁵-4x³-2x²+3x+2 x⁴+x³-3x²-5x-2

x⁵+x⁴-3x³-5x²-2x x-1

-x⁴-x³+3x²+5x+2

-x⁴-x³+3x²+5x+2

d(x) = (f(x),f’(x))= x⁴+x³-3x²-5x-2. Строим вспомогательный многочлен v(x)

x⁶-6x⁴-4x³+9x²+12x+4 x⁴+x³-3x²-5x-2

x⁶+x⁵-3x⁴-5x³-2x² x²-x-2

-x⁵-3x⁴+x³+11x²+12x+4

-x⁵-x⁴+3x³+5x²+2x

-2x⁴-2x³+6x²+10x+4

-2x⁴-2x³+6x²+10x+4

v(x)= x²-x-2=(x-2)(x+1)

Чтобы определить кратность каждого множителя, разделим f(x) на двучлены (x-2) и (x+1) по схеме Горнера.

Получили следующий результат f(x)= (x+1)⁴(x-2)² .

Замечание. При решении данной задачи мы не только разложили многочлен на неприводимые множители. Из полученного разложения легко находим корни многочлена х=-1 и х=2. Следует обратить внимание, что f(x) делится на (х+1) четыре раза, говорят, что х=-1 – корень кратности четыре, аналогично, х=2 - корень кратности два. И в общем случае:

aÎР называется k-кратным корнем многочлена f(x)ÎР[x], если (х-a)^kçf(x), а (х-a)^k-1 не делит f(x).

Очевидно, для нахождения кратных корней можно использовать тот же алгоритм.