Теоремы о неприводимых многочленах

Теорема 9. Всякий многочлен первой степени неприводим над любым полем.

Доказательство

От противного. Пусть f(x)ÎP[x]Ù$f₁(x),f₂(x)ÎP[x] (f(x)=f₁(x)f₂(x) Ù deg f₁(x)³1, deg f₂(x)³1), но тогда deg f(x) ³2, что противоречит условию.

Теорема 10. Пусть многочлен р(х) неприводим над полем Р и f(x) - произвольный многочлен, заданный над этим полем, тогда р(х)çf(x) или (р(х),f(x))=1.

Доказательство. Пусть (р(х),f(x))= d(х), тогда d(х)çf(x) и d(х)çр(х). Но многочлен р(х) неприводим над полем Р, следовательно, он имеет только тривиальные делители, то есть d(х)=с Ú d(х)=с р(х) Û(р(х),f(x))=1Ú р(х)çf(x).

Теорема 11. Пусть многочлен р(х) неприводим над полем Р и р(х)çf(x)g(х), тогда р(х)çf(x)Ú р(х)çg(х).

Доказательство. Если р(х)çf(x), то теорема верна. Если р(х) f(x), то по теореме 10, (р(х),f(x))=1. Таким образом, многочлен р(х) делит произведение и взаимно прост с одним из сомножителей, следовательно, по теореме 7, он делит второй сомножитель, то есть р(х)çg(х).

Следствие. Этот результат можно распространить на случай n сомножителей : если многочлен р(х) неприводим над полем Р и р(х)çf₁(x)f₂(х)…f_n(х), тогда р(х)çf₁(x)Úр(х)çf₂(х)Ú…Ú р(х)çf_n(х).

Доказать самостоятельно методом математической индукции.

Теорема 12 (о факториальности кольца многочленов). Всякий многочлен f(x)ÎP[x] (где deg f(x) ³1) разлагается в произведение неприводимых над полем Р многочленов и притом единственным образом с точностью до множителей – многочленов нулевой степени и порядка следования сомножителей.

Доказательство

1. возможность разложения докажем методом математической индукции по степени многочлена.

Так как по теореме 9 многочлен первой степени неприводим над любым полем, то при n=1 теорема верна.

Предположим, что теорема верна для любого многочлена степени меньшей n, и рассмотрим многочлен f(x) n-ой степени. Если f(x) неприводим над полем Р, то для него теорема верна. Если f(x) приводим над полем Р, то f(x)= f₁(x)f₂(x), причем 1£deg f₁(x)£n, 1£deg f₂(x)£n, тогда для многочленов f₁(x) и f₂(x) справедливо индуктивное предположение, то есть

f₁(x)=p₁(x)p₂(x)…p_k(x) и

f₂(x)=p_k+1(x)p_k+2(x)…p_s(x).

Таким образом, f(x)= p₁(x)p₂(x)…p_k(x)p_k+1(x)p_k+2(x)…p_s(x), и возможность разложения многочлена на неприводимые множители доказана.

2. Единственность разложения докажем методом математической индукции по степени многочлена.

Так как по теореме 9 многочлен первой степени неприводим над любым полем, то при n=1 теорема верна.

Предположим, что теорема верна для любого многочлена, степени меньшей n, и рассмотрим многочлен f(x) n-ой степени.

Предположим противное, пусть существуют, по крайней мере, два различных разложения многочлена f(x) на неприводимые множители

f(x)= p₁(x)p₂(x)… p_s(x) и f(x)= q₁(x)q₂(x)… q_m(x),

тогда p₁(x)p₂(x)… p_s(x)= q₁(x)q₂(x)… q_m(x), следовательно, p₁(x)çq₁(x)q₂(x)… q_m(x) и, по следствию из теоремы 11, p₁(x) делит один из сомножителей. С точностью до порядка следования сомножителей можем считать, что p₁(x)çq₁(x), а так как оба многочлена неприводимы над полем Р, то они могут отличаться только множителем – многочленом нулевой степени, поэтому p₁(x)=с₁q₁(x).

Таким образом,

с₁q₁(x)p₂(x)… p_s(x)=q₁(x)q₂(x)… q_m(x)Û с₁q₁(x)p₂(x)… p_s(x)-q₁(x)q₂(x)… q_m(x)=0

Û q₁(x)(с₁p₂(x)… p_s(x)-q₂(x)… q_m(x))=0Û с₁p₂(x)… p_s(x)-q₂(x)… q_m(x)=0 (так как в поле нет делителей нуля) Û с₁p₂(x)… p_s(x) =q₂(x)… q_m(x)=j(х) и степень многочлена j(х) меньше n, следовательно, для него по индуктивному предположению разложение на неприводимые множители определяется однозначно с точностью до множителей – многочленов нулевой степени и порядка следования сомножителей. Поэтому s-1=m-1Ûs=m и p_i(x)=с_iq_i(x) "i=1¸s. Единственность доказана.

Определение. Если неприводимый многочлен р(х) встречается в разложении многочлена f(x) k раз, то будем говорить, что это k-кратный множитель многочлена f(x). Или, иначе, неприводимый многочлен р(х) называется k-кратным множителем многочлена f(x), если р^k(х)çf(x), а р^k+1(х) не делит f(x).

С учетом данного определения можно записать многочлен в канонической форме f(x)= p₁^k1(x)p₂^k2(x)… p_s^ks(x), p_i(x)¹p_j(x), ki³0, p_i(x) - неприводимый многочлен.

Теорема 13. если f(x) = p₁^k1(x)p₂^k2(x)…p_s^ks(x), g(x) = p₁^m1(x)p₂^m2(x)… p_s^ms(x), то (f(x), g(x))=p₁^t1(x)p₂^t2(x)… p_s^ts(x), где ti=min(ki, mi).

Доказать самостоятельно.