Передаточная функция и разностное уравнение

Цифрового фильтра

Реакция цифрового фильтра на входное воздействие х(п) определяется сверткой этого воздействия с импульсной характеристикой фильтра

у(п)=х(п)*h(п). (.6)

(.7)

Из свойств -преобразования следует, что свертке последовательностей х(п) и h(n) соответствует произведение их -преобразований.

(.8)

Рассматривая Y(z) и X(z) как выходной и входной эффекты цифрового фильтра, используем (.8) для записи общего выражения его передаточной функции:

H(z) = Y(z)/X(z) (.9)

Таким образом, передаточная функция цифрового фильтра является -преобразованием его импульсной характеристики:

(.10)

Рассмотрим пример расчета цифрового фильтра на

основе аналогового прототипа в виде однозвенной Г-образной -цепи. Дискретную импульсную характеристику запишем в общем виде с учетом масштабирующего множителя а:

, (.11)

Где - постоянная времени фильтра, - интервал дискретизации.

Найдем передаточную функцию цифрового фильтра, определив -преобразование его дискретной импульсной характеристики (ДИХ):

(.12)

Выражение для представлено в ( .13) как сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем . Используя формулу суммирования, получим

, (.13)

Где

Стуктура записи передаточной функции цифрового фильтра соответствует передаточной функции линейной аналоговой системы с обратной связью:

, (.14)

Где - коэффициент передачи прямого тракта, - коэффициент передачи цепи обратной связи. На рис. приведены функциональные схемы соответствующей аналоговой системы с обратной связью и цифрового фильтра.

Рис

Из сопоставления (.13) и (.14) видно, что , а . Сопоставление схем позволяет установить соответствие схемы цифрового фильтра и системе с обратной связью. Блок, обозначенный как выполняет функцию задержки на такт дискретизации.

Передаточная функция цифрового фильтра, полученная как -преобразование его дискретной импульсной характеристики (ДИХ) в общем виде может быть представлено дробно-рациональным полиномом от переменной .

(.15)

Это выражение называется уравнением цифрового фильтра. Коэффициенты , называются коэффициентами цифрового фильтра и их значения полностью определяют передаточную функцию фильтра.

Последнее выражение может быть переписано в форме разностного уравнения цифрового фильтра. Из (.15), следует:

(.16)

После выполнения над (.16)обратного -преобразования можно получить:

(.17)

И. в окончательном виде:

(.18)

Коэффициенты разностного фильтра являются соответствующими коэффициентами в уравнении цифрового фильтра.

Z-преобразование

Операторный метод, базирующийся на преобразовании Лапласа, является одним из основных направлений в исследовании линейных систем. Преобразование Лапласа (.1) позволяет осуществить перевод оригинала из области непрерывного времени t в его комплексное изображение E(s) в s-области.

, (.1)

В области дискретного времени преобразование Лапласа последовательности принимает вид суммы:

(.2)

Трансцендентность изображений дискретных .последовательностей из-за наличия экспоненты в ( .2) приводит к определенным трудностям, поэтому применительно к дискретным и цифровым устройствам пользуются не дискретным преобразованием Лапласа, а -преобразованием, которое получается из (:2) заменой :

(.3)

Свойства -преобразования.

Линейность. Если и являются -преобразованиями последовательностей и , то любых действительных а и b z-преобразование равно Это непосредственно вытекает из (.3) и является подтверждением принципа суперпозиции из определения.

Задержка. Если - преобразование относится к последовательности , то -преобразование последовательности ,задержанной на тактов, равно . При определении -преобразования ординаты в соответствии с (.3) умножаются на комплексные числа последовательности и результаты умножения суммируются.

Очевидно, что -преобразование будет точно таким же, если оперировать несмещенной последовательностью и последовательностью смещенной на т тактов в сторону опережения.

Формульная запись при этой операции имеет вид:

(.4)

Из (.4) следует, в частности, что в выражениях z-форм множитель z^±^m должен рассматриваться как оператор сдвига преобразуемой последовательности на т тактов дискретизации. Знак показателя определяет направление сдвига (минус - задержка, плюс - опережение).

Свертка. Если последовательности соответствует -преобразование , а последовательности -преобразование , то дискретной свертке этих последовательностей: