Радикальный признак Коши.

Если для ряда с положительными членами величина имеет конечный предел p при , т.е. , то в случае:

1) p<1, то ряд сходится;

2) p>1, то ряд расходится;

3) p=1 – вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство:

Пусть p<1, рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению p<q<1.

Начиная с некоторого номера n = N ,будет иметь месть соотношение

,

При q<1 - убывающая геометрическая прогрессия. Если, начиная с номера N , то из условия сходимости ряда следует сходимость ряда .

Пример. Исследовать сходимость ряда .

.

Интегральный признак Коши.

Пусть - ряд с положительными членами, для которого существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая функция на , такая, что . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то и ряд тоже сходится;

2) если несобственный интеграл расходится, то и ряд тоже расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

, т.к. несобственный интеграл расходится, то и расходится соответствующий ему ряд .