Напряженное состояние в точке тела

Пусть твердое упругое тело находится под действием поверхностных сил, определенным образом распределенных по поверхности тела, и объемных сил (силы тяжести, инерции и т. п.), распределенных по всему объему тела. Тогда в теле возникнут напряжения.

Напряжением называют интенсивность внутренних усилий,т. е. усилие, приходящееся на единицу площади сечения. Для исследования напряженного состояния в точке О вырежем около этой точки элементарный параллелепипед,ребра которого равны dx, dy, dz (рис. 1.1). Если через ΔР обозначить внутреннее усилие, действующее на элементарную площадку (например, ВСС'В'), то численно напряжение р определяется как отношение элементарного внутреннего усилия ΔР к площади элементарной площадки ΔF при ΔF →0, т.е.

Если грани вырезанного элементарного параллелепипеда бесконечно уменьшать, то параллелепипед стягивается в точ­ку и р будет характеризовать величину полного напряжения в точке О на площадке, перпен­дикулярной к оси у. Это на­пряжение можно разложить на, нормальную к площадке составляющую σ_у и касательную τ. При этом τ в свою очередь можно разложить на направления, параллельные осям х и z: τ_xy, τ_zy.

Таким же образом можно получить на других гранях бес­конечно малого параллелепипеда нормальные напряжения σ_x, σ_zи составляющие касательных напряжений τ_yx, τ_zx, τ_xz.Чтобы не загромождать рис. 1.1, эти составляющие других гранях параллелепипеда не показаны.

Для нормальных напряжений вводим один индекс (σ_x, σ_y, σ_z), показывающий направление нормального напря­жения. Для касательных напряжений введем два индекса (τ_yx, τ_yz, τ_xy, τ_xz, τ_zx, τ_zy). Первый индекс указывает направ­ление касательного напряжения, а второй — к какой оси перпендикулярна площадка. Например, τ_ху означает, что площадка, к которой относится касательное напряжение, перпендикулярна к оси у, а направлено касательное напря­жение параллельно оси х.

Положительными считаются растягивающие напряжения. Для граней элементарного параллелепипеда АСС’А', ВСС'В', А'С’В'О' направление растягивающих напряжений σ_х, σ_у, σ_z, совпадает с положительным направлением осей х, у, z. Для противоположных граней ОВВ'О', ОАА'О', ОАСВ направле­ние растягивающих (т. е. положительных) напряжений σ_х, σ_у, σ_zсовпадает с отрицательным направлением осей х, у, z.

За положительные направления касательных напряже­ний принимаются положительные направления осей х, у, z для тех граней, где растягивающие напряжения действуют в направлении положительных осей х, у, z (т. е. для граней АСС’А', ВСС'В', А'С'В'О'). Для тех граней, где направле­ние растягивающих напряжений совпадает с отрицательным направлением осей х, у, z (грани ОВВ'О', ОАА'О', ОАСВ), положительные касательные напряжения направлены также в сторону отрицательных значений соответствующих ко­ординат.

На рис. 1.1 показаны для примера положительные на­правления напряжений σ_у, τ_ху, на гранях ВСС'В' и ОАА'О'.

На грани элементарного параллелепипеда, вырезанного около точки О, действуют три нормальные составляющие напряжений σ_х, σ_у, σ_z и шесть касательных составляющих τ_yx, τ_yz, τ_xy, τ_xz, τ_zx, τ_zy. В соответствии с законом парности касательных напряжений, доказательство которого приво­дится в курсах сопротивления материалов, касательные на­пряжения с одинаковыми индексами, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках, равны друг другу по величине, т. е.

τ_xy = τ_yx, τ_yz = τ_zy , τ_xz = τ_zx,

Таким образом, с учетом закона парности касательных напряжений напряженное состояние в точке тела характе­ризуется шестью компонентами напряжения по координатным осям. Эти составляющие напряжения являются функ­циями координат точки О, т. е.

σ_х = σ_х(x,y,z) , σ_у = σ_у (x,y,z), … , τ_yz = τ_yz (x,y,z)

Следовательно, на любой наклонной площадке, проходя­щей через данную точку О, нормальное и касательное на­пряжения могут быть выражены через известные напряже­ния σ_х, σ_у, σ_z τ_yx, τ_yz, τ_xy, τ_xz, τ_zx, τ_zy или, иначе говоря, эти напряжения пол­ностью характеризуют напряженное состояние в данной точ­ке тела, они являются элементами так называемого тензора напряжений.

Тензор напряжения представляется матрицей

.

В матрице в каждой строке составляющие (компоненты) тензора имеют одинаковое направление, а в каждом столб­це — относятся к одной и той же площадке. Нормальные на­пряжения располагаются по главной диагонали матрицы. Из закона парности касательных напряжений следует, что мат­рица симметрична относительно главной диагонали. Такой тензор называется симметричным.

Напряженное состояние в точке характеризуется тензо­ром напряжения, а напряженное состояние в теле — совокуп­ностью тензоров напряжений, образующих тензорное поле.

Перейдем теперь к определению величин главных напря­жений и положений главных площадок. Главными называ­ются такие площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями.

Обычно принято нумеровать главные напряжения в по­рядке убывания их значений: σ₁ >σ₂ >σ₃ .