Закон сохранения момента импульса

Применив закон сохранения импульса, можем написать

, или ,
откуда

(4)
где — момент инерции системы стержень — пуля.

Если учесть, что в (4) , а также что , то
после несложных преобразований получим

(5)

Подставив числовые значения величин в (5), найдем

Следовательно, =9°20'.

Задачи

Момент инерции

3.1.Определить момент инерции J материальной точки массой m=0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на r=20 см.

3.2.Два маленьких шарика массой m=10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной l=20 см. Определить момент инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

3.3.Два шара массами m и 2m (m=10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l=40 см так, как это указано на рис. 3.7, а, б. Определить моменты инерции J системы относитель­но оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь.

3.4. Три маленьких шарика массой m=10 г каждый располо­жены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а= =20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции J системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треу­гольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) ле­жащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описан­ной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь. 3.5.Определить моменты инерции трехатомных мо-­ лекул типа АВ2 относительно осей х, у, z (рис. 3.8), проходящих через центр инерции С молекулы (ось z перпендикулярна плоско-­ сти ху). Межъядерное расстояние А В обозначено d, валентный угол а. Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) H2O (d= =0,097 нм, = 104°30'); 2) SO2(d=0,145нм, =124°). 3.6.Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l=30 см и массой m=100 г относительно оси, перпендику-

лярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.

3.7. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l=60 см и массой m=100 г относительно оси, перпендику­лярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на а=20 см от одного из его концов.

3.8. Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольни­ка со сторонами а=12 см и b=16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с ли­ней ной плотностью τ=0,1 кг/м.

3.9. Два однородных тонких стержня: АВ длиной l₁=40 см • и массой m₁=900 г и CD длиной l₂=40 см и массой l₂=400 г скреп­лены под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси 00', проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD.

3.10. Решить предыдущую задачу для случая, когда ось 00' проходит через точку А перпендикулярно плоскости чертежа.

3.11. Определить момент инерции J проволочного равносто­роннего треугольника со стороной а=10 см относительно: 1) оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине (рис. 3.10, а); 2) оси, совпадающей с одной из сторон треугольника (рис. 3.10, б). Масса т треугольника равна 12 г и равномерно рас­пределена по длине проволоки.

3.12.На концах тонкого однородного стержня длиной l и мас­сой 3m прикреплены маленькие шарики массами m и 2m. Опреде­лить момент инерции J такой системы относительно оси, перпенди­кулярной стер и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Вычисления выполнить для случаев а, б, в, г, д, изобра­женных на рис. 3.11. При расчетах принять l=1 м, m=0,1 кг. Шарики рассматривать как материальные точки.

3.13. Найти момент инерции J тонкого однородного кольца радиусом R=20 см и массой m=100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

3.14. Определить момент инерции J кольца массой т=50 г и радиусом R=10 см относительно оси, касательной к кольцу.

3.15. Диаметр диска d=20 см, масса т=800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через се­редину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

3.16. В однородном диске массой т=1 кг и радиусом r=30 см вырезано круглое отверстие диаметром d=20 см, центр которого находится на расстоянии l=15 см от оси диска (рис. 3.12). Найти момент инерции J полученного тела относительно оси, проходя­щей перпендикулярно плоскости диска через его центр.

3.17. Найти момент инерции J плоской однородной прямоуголь­ной пластины массой т=800 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина а другой стороны равна 40 см.

3.18. Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сторонами а=10 см и b=20 см относительно оси, проходящей

через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равно­мерно распределена по ее площади с по­верхностной плотностью σ=1,2 кг/м².

Основное уравнение динамики вращательного движения

3.19.Тонкий однородный стержень дли­ной l=1 м может свободно вращаться во­круг горизонтальной оси, проходящей че­рез точку О на стержне (рис. 3.13). Стер­жень отклонили от вертикали на угол а и отпустили. Определить для начального момента времени угловое в и тангенциальное а_t ускорения точки В на стержне. Вычис­ления произвести для следующих случаев:

3.20.Однородный диск радиусом R = 10 см может свободно вра­щаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости

диска и проходящей через точку О на нем (рис. 3.14). Диск откло­нили на угол а и отпустили. Определить для начального момента времени угловое ε и тангенциальное а_тускорения точки В, находя­щейся на диске. Вычисления выполнить для следующих случаев:

3.21.Тонкий однородный стержень длиной l=50 см и массой m=400 г вращается с угловым ускорением ε=3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Опре­делить вращающий момент М.

3.22.На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R=5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой т=0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь s=l,8 м за время t=3 с, Определить момент инерции J махо­вика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.

3.23.Вал массой m=100 кг и радиусом R=5 см вращался с ча­стотой n=8 с^-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F=40 H, под действием которой вал остановился через t=10 с. Определить коэффициент трения f.

3.24.На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение а оси цилиндра, если цилиндр: 1) сплошной; 2) полый тонкостенный.

3.25.Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m₁=100 г и т₂=110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса т блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

3:26.Два тела массами т₁=0,25 кг и m₂=0,15 кг связаны тонкой нитью, переброшенной через блок (рис. 3.15). Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого сколь­зит тело массой т₁. С каким ускорением а движутся тела и каковы силы T₁ и Т₂ натяжения нити по обе. стороны от блока? Коэффи­циент трения f тела о поверхность стола равен 0,2. Масса т блока равна 0,1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по

ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока прене­бречь.

3.27. Через неподвижный блок массой т=0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁=0,3 кг и m₂=0,5 кг. Определить силы натяжения T₁ и T₂ шнура по обе сто­роны блока во время движения грузов, если масса блока равномер­но распределена по ободу.

3.28. Шар массой m=10 кг и радиусом R=20 см вращается во­
круг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара
имеет вид , где В=4 рад/с², С= —1 рад/с³. Найти
закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить
момент сил М в момент времени t=2 с.

Закон сохранения момента импульса

3.29. Однородный тонкий стержень массой m₁=0,2 кг и длиной l=1м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О (рис. 3.16). В точку А на стержне попада­ет пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью υ=10 м/с и прилипает к стержню. Масса

т₂ шарика равна 10 г. Определить угловую скорость W стержня и линейную скорость и нижнего конца стержня в начальный момент времени. Вычисления выполнить для следующих значений расстояния между точками А и О: 1) l/2; 2) l/3; 3) l/4.

3.30.Однородный диск массой т₁= 0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси z, перпен­дикулярной плоскости диска и проходящей через точку С (рис. 3.17). В точку, А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси z) со скоростью υ= 10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса т₂ шарика равна 10 г. Определить угловую скорость W диска и линейную скорость и точки О на диске в начальный момент времени. Вычисления выпол­нить для следующих значений а и b:1) a=b=R; 2) a=R/2, b=R; 3) a=2R/3, b=R/2;4) a=R/3, b=2R/3.

3.31. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой т=0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со ско­ростью υ=20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r =0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью w начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг-м²?

3.32. Маховик, имеющий вид диска радиусом R=40 см и массой т₁=48 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси. К его цилиндрической поверхности прикреплен конец нерастяжимой нити, к другому кон­цу которой подвешен груз массой т₂= 0,2 кг (рис. 3.18). Груз был приподнят и затем опущен. Упав свободно с высоты h=2 м, груз натянул нить и благодаря этому привел маховик во вращение. Какую угловую скорость w груз сообщил при этом маховику?

3.33. На краю горизонтальной платфор-­
мы, имеющей форму диска радиусом R=2м, стоит человек

массой т₁=80кг. Масса m₂ платформы равна 240 кг.

Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью w будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью V=2 м/с относительно платформы.

3.34. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться око­ло вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой т₁=60 кг. На какой угол φ повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса т₂ платформы равна 240 кг. Момент инерции J человека рассчитывать как для материальной точки.

3.35. Платформа в виде диска радиусом R=1м вращается по инерции с частотой n₁=6мин^-1. На краю платформы стоит человек, масса т которого равна 80 кг. С какой частотой п будет вращаться платформа, если человек перейдет в ,ее центр? Момент инерции J платформы равен 120 кг·м². Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

3.36. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной l=2,4 м и массой т=8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вра­щается с частотой n₁=1 с^-1. С какой частотой n₂ будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг·м².

3.37. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения ска­мейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного

на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой n=10 с^-1. Радиус R колеса равен 20 см, его масса т=3 кг. Определить частоту вращения п₂ скамьи, если человек повернет стержень на угол 180°? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг·м². Массу колеса можно считать рав­номерно распределенной по ободу.

Работа и энергия

3.38.Шарик массой т=100 г, привязанный к концу нити длиной l₁=l м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с ча­стотой n₁=1 с^-1. Нить укорачивается и шарик приближается к оси вращения до расстояния l₂=0,5 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

3.39.Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением φ=A+Bt+Ct², где A=2 рад, B=32 рад/с, С=—4 рад/с². Найти среднюю мощность <N>, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции J=100 кг·м².

3.40.Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением φ=A+Bt+Ct², где А=2 рад, В=16 рад/с, С=—2 рад/с². Момент инерции J маховика равен 50 кг-м². Найти законы, по которым меняются вращающий момент М и мощность N. Чему равна мощ­ность в момент времени t=3 с?

3.41.Якорь мотора вращается с частотой n=1500 мин^-1. Опре­делить вращающий момент М, если мотор развивает мощность N=500 Вт.

3.42.Со шкива диаметром d=0,48 м через ремень передается мощность N=9 кВт. Шкив вращается с частотой и=240 мин^-1. Сила натяжения T₁ ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяжения Т₂ ведомой ветви. Найти силы натяжения обеих ветвей ремня.

3.43.Для определения мощности мотора на его шкив диаметром d=20 см накинули ленту. К одному концу ленты прикреплен дина­мометр, к другому подвесили груз Р.Найти мощность N мотора, если мотор вращается с частотой n=24 с^-1, масса т груза равна 1 кг и показание динамометра F=24 Н.

3.44.Маховик в виде диска массой m=80 кг и радиусом R=30 см находится в состоянии покоя. Какую работу A₁нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n=10 с^-1? Какую работу A₂ пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел мень­шую толщину, но вдвое больший радиус?

3.45.Кинетическая энергия Т вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=80 оборотов, оста­новился. Определить момент М силы торможения.

3.46.Маховик, момент инерции J которого равен 40 кг ·м², начал

вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием мо­мента силы М=20 Н·м. Вращение продолжалось в течение t= 10 с. Определить кинетическую энергию Т, приобретенную ма­ховиком.

3.47.Пуля массой m=10 г летит со скоростью V=800 м/с, вра­щаясь около продольной оси с частотой n=3000 с^-1. Принимая пулю за цилиндрик диаметром d=8 мм, определить полную кине­тическую энергию Т пули.

3.48.Сплошной цилиндр массой т=4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость v оси цилиндра равна 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию Г цилин­дра.

3.49. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу т=2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью υ=5 м/с. Найти кинетические энергии Т₁ и Т₂ этих тел.

3.50.Шар катится без скольжения по горизонтальной поверх­ности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Опреде­лить кинетическую энергию T₁ поступательного и T₂ вращательно­го движения шара.

3.51.Определить линейную скорость v центра шара, скатившего­ся без скольжения с наклонной плоскости высотой h=l м.

3.52.Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l=2 м и высотой h=10 см?

3.53.Тонкий прямой стержень длиной l=1м прикреплен к гори­зонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол φ=60° от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость υ нижнего конца стержня в момент прохожде­ния через положение равновесия.

3.54. Однородный тонкий стержень длиной l=1 м может свобод­но вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О на стержне. Стержень отклонили от положения равновесия на угол а и отпустили (см. рис. 3.13). Определить угловую скорость со стержня и линейную скорость Vточки В на стержне в момент про­хождения им положения равновесия. Вычисления выполнить для следующих случаев: 1) а=0, b=l/2, α=π/3; 2) а=l/3, b=2l/3, α=π/2; 3) а=l/4, b=l, α=2π/3.

3.55.Карандаш длиной l=15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую со и линейную v скорости будет иметь в конце падения: 1) середина карандаша? 2) верхний его ко­нец? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.

3.56.Однородный диск радиусом R=20 см может свободно вра­щаться вокруг горизонтальной оси z, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (см. рис. 3.14). Определить угло­вую со и линейную v скорости точки В на диске в момент прохожде­ния им положения равновесия. Вычисления выполнить для следую­щих случаев: 1) a=b=R, α=π/2; 2) a=R/2, b=0, α=π/3; 3) а=2R/3, b=2R/3, α=5π/6; 4) a=R/3, b=R, α=2π/3.