Кристаллическая решетка

Кристаллическую решетку можно определить как совокупность периодически расположенных в пространстве точек, с которыми связаны центры образующих кристалл атомов или молекул (рис.4.2). Точки, в которых расположены сами атомы или молекулы (точнее, точки, относительно которых они совершают тепловые колебания), называют узлами кристаллической решетки (рис.4.2, а). Группа атомов, которая связана с каждым узлом решетки (рис.4.2, б) называется базисом (такие группы должны быть идентичны по составу, расположению и ориентации).

Множество узлов кристаллической решетки, то есть фактически – абстрактное множество точек образует пространственную решетку (рис.4.2, а) кристалла.

	Таким образом, кристаллическая решетка – это пространственная решетка с базисом.
Рис. 4.2. Образование кристаллической структуры: а) узлы кристаллической решетки, которые образуют пространственную решетку; б) группа атомов, которая размещается в узлах решетки (базис); в) кристаллическая решетка, представляющая собой «сумму» пространственной решетки и базиса; на этом рисунке узлов решетки уже не видно.
	Рис. 4.3.Векторы трансляций двумерной кристаллической решетки с базисом из двух атомов (белый и черный кружок). Выбор этих векторов неоднозначен ( и , и , и , и т.д.). Векторы и , а также и являются основными векторами трансляций; и не являются основными.

Представление о пространственной решетке было введено французским кристаллографом и математиком Огюстом Браве (1811–1863). Оно оказывается особенно полезным, если нас интересует только пространственная периодичность в расположении атомов кристалла, но не интересует его конкретный химический состав. Для любой пространственной решетки Браве (вследствие ее периодичности) можно найти три не лежащие в одной плоскости вектора , и (рис. 4.3 и 4.4), такие, что при рассмотрении этой решетки из произвольной точки она будет иметь тот же вид, что и при рассмотрении из точки , если

,

(4.1)

где m, n и p – произвольные целые числа.

Таким образом, все точки (узлы) пространственной решетки Браве эквивалентны, т. е. имеют одинаковое окружение. Иными словами, из каждого узла видна одна и та же картина решетки.

Векторы , и , которые входят в выражение (4.1), называются векторами трансляций. При смещении (трансляции) кристалла как целого на любой из этих векторов, он совмещается сам с собой. Параллелепипед, образованный этими векторами называется элементарной ячейкой.

Ясно, что векторы , и можно выбрать различными способами (рис. 4.3). То есть выбор элементарной ячейки в кристалле не является однозначным. Элементарная ячейка минимального объема называется примитивной ячейкой (рис. 4.4 и 4.5), а векторы , и , на которых построена примитивная ячейка, – примитивными или основными векторами трансляций.

	Рис. 4.4.Основные векторы трансляций , и , образующие примитивную ячейку трехмерной пространственной решетки Браве. Изображенная решетка является простой кубической решеткой.
a)	б)
в)	Рис. 4.5.Элементарная (а) и примитивная (в) ячейки трехмерной пространственной решетки Браве. Изображена гранецентрированная кубическая (ГЦК)решетка. На всех рисунках векторы , и – это примитивные векторы трансляций, образующие примитивную ячейку. Рисунок (б) показывает, что примитивная ячейка имеет наименьший объем. Симметрия примитивной ячейки, в отличие от элементрной, не отражает в полной мере той симметрии, которая присуща ГЦК решетке.

На примитивную ячейку приходится только одна точка пространственной решетки Браве (рис.4.5, в). Хотя в каждом из восьми углов параллелепипеда находится точка решетки, каждая такая точка принадлежит одновременно восьми ячейкам, которые примыкают к рассматриваемой точке, поэтому на одну ячейку приходится 8×1/8 = 1 точка. Объем примитивной ячейки V_c определяется смешанным произведением основных векторов трансляций:

.

(4.2)

Примитивная ячейка является частным случаем элементарной ячейки. При этом основные векторы трансляций, а значит, и примитивную ячейку, также можно выбрать различными способами. На рис. 4.3, например, ( , ) и ( , ) – это две возможные пары основных векторов, а ( , ) – неосновные векторы трансляций.

Другой вариант выбора примитивной ячейки показан на рис. 4.6. Ячейка, выбранная таким образом, называется в физике примитивной ячейкой Вигнера-Зейтца.

Для однозначной характеристики выбранной элементарной или примитивной ячейки (рис.4.5, в) в общем случае необходимо задать 6 величин: 3 ребра ячейки а, b и с и три угла между ними – a, b, и g. Эти величины называют параметрами ячейки. Длины сторон примитивной ячейки, т.е. длины основных векторов трансляций называют периодами трансляций.

а)

Рис. 4.6.Примитивную ячейку можно выбрать следующим образом (а): 1) провести линии, соединяющие данную точку решетки со всеми соседними точками; 2) через середины этих линий перпендикулярно к ним провести новые линии (в случае двумерной решетки) или плоскости (в случае трехмерной решетки). Полученная таким способом ячейка наименьшего объема, которая содержит только одну точку решетки, называется примитивной ячейкой Вигнера-Зейтца. С помощью таких ячеек можно заполнить все пространство кристаллической решетки так же, как и с помощью примитивных ячеек, изображенных на рис. 4.3. Симметрия примитивной ячейки Вигнера-Зейтца совпадает с симметрией пространственной решетки Браве. В этом можно убедиться на примере трехмерной ячейки Вигенра-Зейтца (в) объемно-центри­рованной кубической (ОЦК) решетки (б).

б)

в)

Посредством соответствующих трансляций (сдвигов) примитивной ячейки на векторы , и можно заполнить все пространство кристаллической структуры. Таким образом, примитивная ячейка – это периодически повторяющаяся в пространстве часть пространственной решетки Браве, имеющая форму параллелепипеда, с каждой точкой которой в кристаллической решетке связана совокупность атомов, называемая базисом.

Если базис кристаллической решетки состоит из одного атома, то кристаллическая решетка называется простой. В этом случае все атомы кристалла располагаются по узлам одной решетки Браве.

Если базис состоит из нескольких атомов, то кристаллическая решетка называется сложной. В этом случае каждому атому базиса соответствует своя подрешетка однотипных атомов, идентичная решетке Браве кристалла.

Пример двумерной сложной решетки изображен на рис. 4.3. «Белые» и «черные» атомы могут быть химически идентичны, но по положению в кристаллической решетке они разные. Атомы кристалла однотипны, если они химически идентичны и с каждого из них видна одна и та же картина кристаллической решетки.

Таким образом, чтобы «увидеть» решетку Браве, нужно «смотреть» только на однотипные атомы. При этом кристалл со сложной решеткой можно представить себе двумя способами: 1) взять базис и транслировать его многократно с помощью примитивных векторов трансляций или 2) взять несколько в точности одинаковых решеток Браве и, вставив их друг в друга, расположить в узлах соответствующих решеток однотипные атомы. Двумерный кристалл на рис. 4.3, например, состоит из двух вставленных друг в друга решеток Браве, в узлах которых расположены, соответственно, «белые» и «черные» атомы.