Введение в кинематику

Кинематикойназывается раздел механики, в котором изучаются движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, то есть с чисто геометрической точки зрения.

Под движением в механике понимают изменение положения данного тела в пространстве по отношению к некоторой координатной системе, которую называют системой отсчета.

Таким образом, понятие движения является относительным. Тело, находящееся в покое относительно одной системы отсчета может совершать движение относительно другой системы отсчета.

Пространство в классической механике считается однородным, изотропным и евклидовым, а время является абсолютным, то есть протекающим одинаково во всех системах отсчета.

Для описания течения времени в механике используют независимую переменную − время. При этом все другие переменные величины рассматривают как функции времени. Отсчет времени ведут от некоторого начального момента .

Основной задачей кинематики является изучение способов задания движения тел. Движение тела считается заданным, если для любого момента времени можно математически указать положение любой точки тела по отношению к данной системе отсчета.

Для описания движения кинематика кинематика использует кинематические характеристики, такие как скорости или ускорения, и устанавливает связывающие их математические зависимости.

Основными разделами кинематики являются:

· кинематика точки,

· кинематика твердого тела,

· сложное движение точки,

· сложное движение твердого тела.

1.1.Способы задания движения точки

В кинематике используют три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Векторный способ задания движения точки

Положение движущейся точки М по отношению к системе отсчета Оxyz можно задать радиус-вектором этой точки , который считается векторной функцией времени:

(1.1)

Уравнение (1.1) представляет собой уравнение движения точки в векторной форме. Линия, которую описывает точка в своем движении, называется ее траекторией точки.

Траектории движения точек можно разделить на прямолинейные и криволинейные.

Конец радиус-вектора указывает на точку М и в процессе движения всегда заканчивается на её траектории.

Таким образом, траектория точки является годографомвектора .

Рис. 1.1

Координатный способ задания движения точки

Положение точки в данной системе отсчета можно определить, задав ее координаты в виде функций времени. В декартовой системе координат это будут функции

(1.2)

Эти уравнения можно рассматривать как уравнения траектории точки, заданные в параметрической форме. Время в данном случае будет являться параметром. Чтобы получить уравнение траектории в явной форме надо из уравнений (1.2) исключить время.

Связь между векторным и координатным способами задания движения точки дается формулой

, (1.3)

где – единичные вектора (орты) декартовой системы координат.

Естественный способ задания движения точки

Этот способ применяется когда заранее известна траектория точки.

Рис. 1.2

Чтобы задать движение некоторой точки М естественным способом, следует указать:

1. траекторию точки (кривая АВ на рис. 1.2);

2. начальную точку на ней (точка О на рис. 1.2);

3. положительное и отрицательное направление отсчета по траектории;

4. уравнение движения точки по траектории:

(1.4)

в котором s есть дуговая координата, то есть длина дуги по траектории между точками О и М, взятая со знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того в какой части траектории находится точка.

Дуговая координата определяет положение точки на траектории движения, а не пройденный ею путь.

1.2.Скорость точки

Определение скорости при векторном способе задания движения

Скоростью точки называется кинематическая характеристика движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки:

(1.5)

В дальнейшем точкой сверху будем обозначать производную по времени.

Система координат при этом считается неподвижной, а орты – постоянными, как по величине, так и по направлению.

Скорость точки – величина векторная, ее направление показывает куда в данный момент движется тело, а ее модуль – быстроту изменения положения точки. Размерность модуля скорости: .

Определение скорости при координатном способе задания движения

Выразим вектор скорости через его проекции на координатные оси:

, (*)

По определению

Возьмем производную от радиус-вектора по времени:

(**)

Сравнивая формулы (*) и (**) получим, что

(1.6)

где – проекции вектора скорости на координатные оси.

Обычным образом находятся модуль вектора скорости:

и его направляющие косинусы:

Определение скорости при естественном способе задания движения

При естественном способе задания движения точки известна ее траектория и уравнение движения . Каждому значению дуговой координаты соответствует свой радиус-вектор , который в этом случае можно рассматривать как сложную функцию:

Взяв производную по времени от радиус-вектора по времени, получим скорость:

Рассмотрим вектор . Изобразим два близких по времени положения точки: М и М₁. При , то есть при , отношение длины стягивающей хорды к длине дуги стремится к единице, то есть

а направление секущей в предельном положении совпадает с направлением касательной к траектории, проведенной через точку . То есть, вектор есть единичный вектор, направленный по касательной к траектории в положительную сторону дуговой координаты. Обозначим его и будем называть единичным вектором касательной.

Рис. 1.3

Тогда вектор скорости можно представить как

, (1.7)

где представляет собой проекцию вектора скорости на касательную, которую также называют алгебраическим значением скорости.

Подведем итог:

1. Скорость всегда направлена по касательной к траектории в сторону движения;

2. Скорость по модулю равна ;

3. Знак проекции показывает направление скорости: при скорость направлена в положительном направлении дуговой координаты, а при − в отрицательном направлении.

1.3.Ускорение точки

Определение ускорения при векторном способе задания движения

Ускорением точки называется кинематическая характеристика движения, равная производной по времени от вектора скорости точки:

или (1.8)

Система координат при этом считается неподвижной.

Ускорение характеризует изменение вектора скорости.

Размерность модуля ускорения .

Определение ускорения при координатном способе задания движения

Выразим вектор ускорения через его проекции на координатные оси:

(*)

При координатном способе задания движения вектор скорости задается формулой:

По определению

Дифференцируя вектор скорости по времени, получим формулу для ускорения:

. (**)

Сравнивая формулы (*) и (**) получим, что компоненты ускорения равны:

, (1.9)

то есть проекции вектора ускорения на координатные оси равны вторым производным по времени от соответствующих координат, или первым производным по времени от соответствующих проекций вектора скорости.

Обычным образом находятся модуль вектора ускорения:

и его направляющие косинусы:

1.4. Геометрия траекторий

Радиус кривизны

Рассмотрим произвольную пространственную кривую (рис.1.4). Пусть за промежуток времени материальная точка перемещается по ней из точки М в точку М₁ и ее дуговая координата меняется при этом на величину .

Построим в точках М и М₁ единичные векторы касательной и .

Рис. 1.4

Перенесем вектор параллельно в точку М. Угол между единичными векторами и называется углом смежности. При точка М₁ будет стремиться к точке М, а угол и длина дуги к нулю.

Предел их отношения называется кривизной данной кривой в точке М:

= k.

Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны:

Радиус кривизны измеряется в метрах.

Радиус кривизны равняется радиусу окружности, которая наилучшим образом совпадает с кривой в окрестности данной точки.

ПРИМЕРЫ:

1. Окружность является кривой постоянной кривизны. Во всех точках окружности радиус ее кривизны равен радиусу окружности.

2. Прямая линия является линией постоянной кривизны. Во всех ее точках радиус кривизны равен бесконечности, а кривизна равна нулю.

3. У таких линий, как эллипс или парабола, радиус кривизны в разных точках имеет разное значение.

Естественные оси

Сведем вектора и в точке (рис. 1.4) и проведем через них плоскость.

Устремим точку к точке . В предельном положении (при ) эта плоскость займет некоторое положение , которое называется соприкасающейся плоскостью.

Если траектория движения плоская, то она вся будет лежать в соприкасающейся плоскости. Плоскость II перпендикулярная касательной называется нормальной плоскостью. Плоскость III, перпендикулярная плоскостям I и II, называется спрямляющей плоскостью.

Рис. 1.5

Проведенная через точку М касательная к траектории является линией пересечения соприкасающейся и спрямляющей плоскостей.

Линия пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей называется нормалью (главной нормалью).

Линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей называется второй нормалью (бинормалью).

Касательная, нормаль и бинормаль вместе образуют естественные оси. Естественные оси являются подвижными, они перемещаются по траектории

С естественными осями связана правая тройка единичных векторов (ортов):

единичный вектор касательной,

единичный вектор нормали,

единичный вектор бинормали.

1.5. Определение ускорения при естественном способе задания движения

Получим выражение для ускорения, учитывая, что по (1.7) :

. (*)

Преобразуем вектор , учитывая, что

Подставляя это выражение в (*) получим:

. (**)

Рассмотрим вектор .

Можно доказать, что:

1. Этот вектор всегда направлен по главной нормали, то есть в сторону вогнутости кривой;

2. модуль его равен кривизне кривой в данной точке, то есть .

Таким образом, мозно записать, что ,

Подставляя это выражение в (**) и учитывая, что , получим, что ускорение равно векторной сумме:

(1.10)

Первое слагаемое называется касательным ускорением:

Оно направлено по касательной к траектории. Его проекция на касательную к траектории равна

(1.11)

Проекцию называют алгебраическим значением касательного ускорения. Её знак показывает в какую сторону дуговой координаты s направлено касательное уравнение.

Модуль касательного ускорения можно вычислить через производную от модуля скорости:

Второе слагаемое называется нормальным ускорением:

Оно направлено по главной номали и его проекция на главную нормаль

(1.12)

всегда положительна. По этой причине нормальное ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории.

Таким образом, полное ускорение равно векторной сумме касательного и номального ускорений:

. (1.13)

Проекция вектора ускорения на бинормаль всегда равна нулю: .

Модуль полного ускорения равен

. (1.14)

1.6.Различные формы движения точки

Прямолинейное движение и криволинейное движение

Траекторией точки при криволинейном движении является кривая, и ее кривизна имеет конечное значение, а радиус кривизны не равен нулю.

Траекторией при прямолинейном движенииявляется прямая линия.

Радиус кривизны прямой линии бесконечен . Из (1.12) следует, что нормальное ускорение в этом случае равно нулю .

Следовательно, при прямолинейном движении полное ускорение совпадает с касательным:

и .

В этом случае скорость всегда направлена по одной линии − траектории, откуда вытекает вывод о физическом смысле касательного ускорения: касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости.

Равномерное движение и неравномерное движение

Равномерным называется такое движение точки, при котором модуль скорости все время остается постоянным: . Тогда и полное ускорение совпадает с нормальным: .

Модуль скорости при этом не меняется, откуда вытекает вывод о физическом смысле нормального ускорения: нормальное ускорение характеризует изменение направления скорости.

При равномерном движении . Интегрируя это равенство, получим уравнение равномерного движения:

. (1.15)

Это уравнение определяет величину дуговой координаты в любой момент времени.

Пройденный точкой путь определяется путем интегрирования модуля скорости: .

При равномерном движении .

Равномерное прямолинейное движение

В этом случае равны нулю и касательное, и нормальное, и полное ускорения: , а скорость точки как вектор будет постоянна:

Ускоренное движение и замедленное движение

Ускоряется или замедляется движение точки можно определить по взаимному расположению векторов скорости и касательного ускорения (рис. 1.7). Если оба вектора направлены в одну сторону, то движение является ускоренным, а если в разные, − то замедленным.

При ускоренном движении произведение проекций этих векторов на касательную к траектории будет положительным ( ), а при замедленном – отрицательным ( ).

Другой способ определения является движение ускоренным или замедленным заключается в определении знака проекции вектора ускорения на направление вектора скорости .

Рис. 1.6

Если вектора скорости и ускорения заданы аналитически выражениями

то проекцию ускорения на направление скорости можно найти с помощью скалярного умножения вектора ускорения на направляющий единичный вектор скорости , который равен