Тригонометрические функции

Рассмотрим свойства тригонометрических функций , , , .

Свойства функции :

1. Область определения функции .

2. Множество значений функции .

3. Функция нечётная, т.е. для всех .

4. Функция периодическая, наименьший период , т.е. .

5. Нули функции .

6. Функция возрастает на промежутках , а убывает на промежутках .

7. Точки являются точками максимума, а точки - точками минимума.

Пример 1. Найдите множество значений функции .

1) [-11;11] 2) [0;11] 3) [-1;1] 4)

Решение. Так как , то , т.е. множеством значений функции является промежуток .

Ответ: [-11;11].

Свойства функции :

1. .

2. .

3. Функция чётная, т.е. для всех .

4. Функция периодическая, наименьший период , т.е. .

5. Нули функции .

6. Функция возрастает на промежутках , а убывает на промежутках .

7. Точки являются точками максимума, а точки - точками минимума.

Пример 2. Найдите наименьшее значение функции .

Решение. Используем формулу преобразования разности в произведение (4.5):

.

Так как , то , т.е. множеством значений функции является промежуток . Тогда наименьшим значением функции является y=-2.

Ответ: -2.

Пример 3. Расположите в порядке убывания .

1)

2)

3)

4)

Решение. Углы принадлежат промежутку , на котором функция убывает. Тогда из условия следует .

Ответ: 3).

Свойства функции :

1. , кроме .

2. .

3. Функция нечётная, т.е. для любого .

4. Функция периодическая, наименьший период , т.е. .

5. Нули функции .

6. Функция возрастает на интервалах .

Пример 4. Найдите наименьшие положительные периоды следующих функций:

1) 2)

Решение. Воспользуемся следующим утверждением:

Если функция f (x) периодическая и имеет наименьший положительный период T, то функция Af(kx+b), где A, k и b постоянны, а , также периодична, причём её наименьший положительный период равен .

1) Так как наименьший положительный период функции равен , то наименьший положительный период функции равен .

2) Воспользуемся формулой сложения (2.1) и получим . Так как наименьший положительный период функции равен , то наименьший положительный период функции равен .

Ответ: .

Свойства функции :

1. , кроме .

2. .

3. Функция нечётная, т.е. для любого .

4. Функция периодическая, наименьший период , т.е. .

5. Нули функции .

6. Функция убывает на интервалах .

Пример 5. Найдите множество значений функции .

Решение. Область определения функции включает значения . По формуле 1.4 получаем для всех x из области определения функции.

Ответ: 1.

Задачи.

1. Вычислите если

1) 4

5) 6

9) 10

2) 5

6) 13

10) 8

3) 3

7) 1

11) 12

4) 2

8) 0

12) 9

2. Найдите значения следующих выражений:

1)

2)

3)

4)

3. Результат вычисления выражения равен

1) 2) 3) 4) 2

4. Результат вычисления выражения равен

1) 3

2) 2

3) 1

4) -1

5. Результат вычисления выражения равен

1) 2) 3) 4)

6. Упростите выражение

1) 1

2)

3)

4) -1

7. Упростите выражение .

1) 1 2) 3) 4)

8. Упростите выражение .

1) 1

2)

3)

4)-1

9. Упростите выражения:

1)

2)

10. Найдите наименьший положительный период функции

11. Найдите множество значений функции

1) [2;4]; 2) [1;3]; 3) [-1;1]; 4)

12. Найдите множество значений функции .

1) [4;8] 2) [2;4] 3) [1;2] 4) [2,5;3,5]

13. Укажите наименьшее положительное целое число, не входящее во множество значений функции .

1) 1

2) 0

3) 3

4) 4