Основные тригонометрические формулы

Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические функции

Задача нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла сводится к нахождению значений этих функций в случае, когда . Таблица определяет основные значения , , и для данного промежутка.

Значения тригонометрических функций основных углов

					-
	-

Основные тригонометрические формулы

1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

Пример 1. Найдите значение выражения , если .

Решение. Применяем основное тригонометрическое тождество (1.1):

Ответ: 4,97.

Пример 2. Найдите значение выражения , если , .

Решение. Чтобы найти , используем основное тригонометрическое тождество (1.1) и определяем знак для значений :

, .

Ответ: -4.

2. Формулы сложения:

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

Пример 3. Найдите значение , если и .

1) 2) 3) 4)

Решение. Применяем основное тригонометрическое тождество (1.1). Находим . Выбираем отрицательный знак, так как . Тогда по формуле сложения (2.1) получаем:

.

Ответ: 3).

3. Формулы двойного и тройного аргументов:

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

4. Формулы преобразования суммы (разности) в произведение:

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6. 4.7.

Пример 4. Докажите тождество .

Доказательство.

Используем формулы для синуса (3.1) и косинуса (3.2) двойного угла, а также разности синусов (4.2):

.

5. Формулы преобразования произведений в суммы (разности):

5.1.

5.2.

5.3.

6. Формулы понижения степени:

6.1. 6.2.

Пример 5. Выражение можно преобразовать к виду

1) 2) 3) 4)

Решение. Применяем формулы понижения степени (6.1) и (6.2), а также формулу для синуса двойного угла (3.1):

.

Ответ: 1).

7. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента (универсальная подстановка):

7.1. 7.2. 7.3.

Пример 6. Вычислите , если .

Решение. Вычислим синус двойного угла с помощью универсальной подстановки (8.1): . Тогда .

Ответ: .