Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так:

В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом

или с двумя бесконечными пределами:

Разберём самый популярный случай . Для определённости предположим, что и тогда типичная криволинейная трапеция будет выглядеть так:

Обратите внимание, что она бесконечна (не ограничена справа), инесобственный интеграл численно равен её площади. При этом возможны следующие варианты:

1) площадь бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что несобственный интеграл расходится.

2) площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: . В этом случае несобственный интеграл сходится.

.

Так как несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: . На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: .

В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела.

Рассмотрим два классических примера:

Пример 1

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Применение нашей формулы и решение задачи выглядит так:

То есть, несобственный интеграл расходится.

Чистовое оформление задания должно выглядеть примерно так:

“

Подынтегральная функция непрерывна на

Несобственный интеграл расходится.

Пример 2

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Выполним чертеж:

Во-первых, замечаем следующее: подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале .

Решаем с помощью формулы :

(1) Берем простейший интеграл от степенной функции (этот частный случай есть во многих таблицах). Минус лучше сразу вынести за знак предела.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы по формуле Ньютона-Лейбница.

(3) Указываем, что при (Господа, это уже давно нужно понимать) и упрощаем ответ.

Вот здесь площадь бесконечной криволинейной трапеции равна конечному числу.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

“

Подынтегральная функция непрерывна на

“

Готово.

Что делать, если вам встретится интеграл наподобие – с точкой разрыва на интервале интегрирования? В этом случае, в силу свойства аддитивности, следует рассмотреть два несобственных интеграла на промежутках и и затем разобраться с суммой.

Пример 3

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Подынтегральная функция непрерывна на .

На какой из табличных интегралов похожа подынтегральная функция? Напоминает она арктангенс: . Из этих соображений напрашивается мысль, что неплохо бы в знаменателе получить квадрат. Делается это путем замены.

Проведем замену:

Неопределенный интеграл найден, константу в данном случае добавлять не имеет смысла.

На черновике всегда полезно выполнить проверку, то есть продифференцировать полученный результат:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, неопределенный интеграл найден правильно.

Теперь находим несобственный интеграл:

(1) Записываем решение в соответствии с формулой . Константу лучше сразу вынести за знак предела.

(2) Подставляем верхний и нижний пределы в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница. Почему при ? Смотрите график арктангенса.

(3) Получаем окончательный ответ.

Итак,

Подынтегральная функция непрерывна на .

“

А сейчас два примера для самостоятельного решения.

Пример 4

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Пример 5

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 246;