Закон инерции квадратичных форм

Установлено, что число отличных от нуля канонических коэффициентов квадратичной формы равно ее рангу и не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма A(x, x) приводится к каноническому виду. На самом деле не меняется и число положительных и отрицательных коэффициентов.

Теорема 11.3 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду.

Пусть квадратичная форма f ранга r от n неизвестных x₁, x₂, …, x_n двумя способами приведена к нормальному виду, то есть

f = + + … + – – … – ,

f = + + … + – – … – . Можно доказать, что k = l.

Определение 11.14. Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится действительная квадратичная форма, называется положительным индексом инерции этой формы; число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции, а их сумма – индексом инерции квадратичной формы или сигнатурой формы f.

Если p – положительный индекс инерции; q – отрицательный индекс инерции; k = r = p + q – индекс инерции.