Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора
10.1. Понятие λ-матрицы
Известно, что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов приводится к диагональному виду. Однако над множеством действительных чисел линейный оператор может не иметь собственных значений, а значит и собственных векторов. Над множеством комплексных чисел любой линейный оператор имеет собственные векторы, но их может быть недостаточно для базиса. Есть другая каноническая форма матрицы линейного оператора, к которой можно привести любую матрицу над множеством комплексных чисел.
Теорема 10.1. Всякая матрица с комплексными элементами приводится во множестве комплексных чисел C к жордановой[14] нормальной форме.
Дадим необходимые определения:
Определение 10.1. Квадратная матрица порядка n, элементами которой служат многочлены произвольной степени от переменной λ с коэффициентами из множества комплексных чисел C, называется
λ-матрицей (или многочленной матрицей, или полиномиальной матрицей).
Примером многочленной матрицы служит характеристическая матрица A – λE произвольной квадратной матрицы A. На главной диагонали стоят многочлены первой степени, вне ее – многочлены нулевой степени или нули. Обозначим такую матрицу как A(λ).
Пример 10.1. Пусть дана матрица A = , тогда A – λE = = = A(λ).
Определение 10.2. Элементарными преобразованиями λ-матрицы называют следующие преобразования:
1. умножение любой строки (столбца) матрицы A(λ) на любое число, не равное нулю;
2. прибавление к любой i-той строке (i-ому столбцу) матрицы A(λ) любой другой j-ой строки (j-ого столбца), умноженной на произвольный многочлен j(l).
Свойства λ-матрицы
1) С помощью этих преобразований в матрице A(λ) можно переставить любые две строки или любые два столбца.
2) С помощью этих преобразований в диагональной матрице A(λ) можно менять местами диагональные элементы.
Пример 10.2. 1) ~ ~ ~ ~ .
2) ~ ~ .
Определение 10.3. Матрицы A(λ) и B(λ) называются эквивалентными, если от A(λ) можно перейти к B(λ) при помощи конечного числа элементарных преобразований.
Задача заключается в том, чтобы по возможности упростить матрицу A(λ).
Определение 10.4. Канонической λ-матрицей называется λ-матрица, обладающая следующими свойствами:
1) матрица A(λ) диагональная;
2) всякий многочлен еi(l), i = 1, 2, …, n нацело делится на еi–1(l);
3) старший коэффициент каждого многочлена еi(l), i = 1, 2, …, n равен 1, или этот многочлен равен нулю.
A(λ) = .
Замечание. Если среди многочленов еi(l) встречаются нули, то они занимают на главной диагонали последние места (по свойству 2), если есть многочлены нулевой степени, то они равны 1 и занимают на главной диагонали первые места.
Нулевая и единичная матрицы являются каноническими λ-матрицами.
Теорема 10.2. Всякая λ-матрица эквивалентна некоторой канонической λ-матрице (то есть она приводится элементарными преобразованиями к каноническому виду)
Пример 10.3. Привести матрицу A(λ) = к каноническому виду.
Решение. Ход преобразований аналогичен преобразованиям в методе Гаусса, при этом левый верхний элемент матрицы при приведении ее к каноническому виду отличен от нуля и имеет наименьшую степень.
A(λ) = ~ (меняем местами первый и второй столбцы) ~ ~ (к второму столбцу прибавляем первый столбец, умноженный на (l – 2)) ~ ~ (ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (l – 2)) ~ ~ (меняем местами второй и третий столбцы) ~ ~ (к третьему столбцу прибавляем второй столбец умноженный на (l – 2)3) ~ ~ (к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на (l – 2)) ~ .
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 125;