Исправленный метод Эйлера

Пусть найдено приближенное значение у_i » y(x_i) решения y = y(x) задачи (1)-(2) и требуется вычислить y_i+1 » y(x_i+1), где x_i+1 = x_i + h. Запишем разложение решения по формуле Тейлора p-го порядка, принимая за базовую точку x_i (т. е. по степеням x – x_i) и положим в этом разложении x = x_i+1. Имеем

. (12)

Если ограничится двумя слагаемыми в правой части разложения (12), то, согласно показанному выше, получим обычный метод Эйлера (5). Посмотрим, что дает учитывание третьего слагаемого.

При p = 2 из (12) следует равенство

. (13)

Значение первой производной в точке x_i, в силу связи (1), приближенно известно:

y'(x_i) = f(x_i, y(x_i)) » f(x_i, y_i). (14)

Дифференцируя (1), по формуле полной производной

у"(x) = f'_x(x, у) + f'_y(x, у)у'

находим приближенное значение второй производной:

у"(x_i) = f'_x(x_i, у(x_i)) + f'_y(x_i, у(x_i))f(x_i, y(x_i)) »

» f'_x(x_i, у_i) + f'_y(x_i, у_i)f(x_i, y_i). (15)

Подставляя приближенные выражения у(x_i), у'(x_i) и у"(x_i) в равенство (13), получаем следующую формулу для вычисления y_i+1 » y(x_i+1) при i = 0, 1, ..., n:

. (16)

Определяемый ею метод будем называть исправленным методом Эйлера.

Так как при i = 0 формулы (14) и (15) точны, а y₀ = у(х₀) согласно начальному условию (2), то на первом шаге вычислений по формуле (16) будет совершаться ошибка, связанная только с усечением ряда Тейлора. Следовательно, локальная ошибка или, иначе, шаговая погрешность метода (16) составляет величину O(h³), а это означает, что исправленный метод Эйлера относится к методам второго порядка.