Неразрывность деформаций, уравнения неразрывности деформаций.

Перемещение любой точки сплошного тела определяется тремя функциями , деформации точки определяются шестью функциями

По известным перемещениям можно определить все шесть составляющих деформаций. Все шесть деформаций нельзя задать произвольно, между ними должны существовать определенные зависимости. Число таких зависимостей равно шести, и они делятся на две группы. Первая группа – зависимости между составляющими деформаций в одной плоскости, вторая группа – зависимости между составляющими деформаций в разных плоскостях.

Первая группа

Из геометрических уравнений продифференцируем два первых уравнения:

, .

Складывая почленно эти уравнения, получим

.

Или .

Вторая группа

Дифференцируя уравнения для определения одинаковых деформаций по координатам и складывая два и вычитая третье, получим после преобразований и дифференцирования по

.

В итоге имеем систему уравнений

,

,

,

,

,

.

Уравнения получены Сен-Венаном, называются уравнениями (условиями) совместимости или неразрывности деформаций. Условия совместимости линейных деформаций для осесимметричной задачи .

Физический смысл этих уравнений таков, заданное тело, сплошное и непрерывное до деформации, остается сплошным и непрерывным, и после деформации. Если по заданным нагрузкам определить напряжения и деформации, то при этом необходимо одновременно удовлетворить и уравнение неразрывности. В противном случае возникают противоречия. Энергетический смысл уравнений неразрывности заключается в том, что осуществление этого принципа соответствует минимальной потенциальной энергии, накапливаемой телом.